Номер 58.12, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.12, страница 227.

58.12 a) $7x + 2y = 1;$

б) $7x - 12y = 1.$

Это линейные диофантовы уравнения вида $ax + by = c$, которые нужно решить в целых числах.

а) Дано уравнение:

$7x + 2y = 1$

Это диофантово уравнение с коэффициентами $a=7$, $b=2$ и $c=1$.

1. Проверка разрешимости. Уравнение имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов при $x$ и $y$ делит свободный член $c$.

Найдем НОД(7, 2):

$\text{НОД}(7, 2) = 1$.

Поскольку $1$ делит $1$, уравнение имеет бесконечное множество решений в целых числах.

2. Нахождение частного решения. Найдем одну пару целых чисел $(x_0, y_0)$, которая удовлетворяет уравнению. Это можно сделать подбором. Выразим $y$ через $x$:

$2y = 1 - 7x$

$y = \frac{1 - 7x}{2}$

Чтобы $y$ был целым числом, выражение $1 - 7x$ должно быть четным. Так как $1$ — нечетное число, то и $7x$ должно быть нечетным, что возможно только если $x$ — нечетное число. Возьмем простейшее нечетное значение для $x$, например, $x_0 = 1$.

Подставим $x_0 = 1$ в выражение для $y$:

$y_0 = \frac{1 - 7 \cdot 1}{2} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, частное решение $(x_0, y_0) = (1, -3)$.

Проверка: $7 \cdot 1 + 2 \cdot (-3) = 7 - 6 = 1$. Верно.

3. Нахождение общего решения. Общее решение диофантова уравнения $ax + by = c$ с частным решением $(x_0, y_0)$ и $d = \text{НОД}(a,b)$ находится по формулам:

$x = x_0 + \frac{b}{d}n$

$y = y_0 - \frac{a}{d}n$

где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a=7, b=2, d=1, x_0=1, y_0=-3$. Подставляем значения в формулы:

$x = 1 + \frac{2}{1}n = 1 + 2n$

$y = -3 - \frac{7}{1}n = -3 - 7n$

Ответ: $(1 + 2n, -3 - 7n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

---

б) Дано уравнение:

$7x - 12y = 1$

Это диофантово уравнение с коэффициентами $a=7$, $b=-12$ и $c=1$.

1. Проверка разрешимости.

Найдем НОД(7, -12), что то же самое, что НОД(7, 12):

$\text{НОД}(7, 12) = 1$.

Поскольку $1$ делит $1$, уравнение имеет решения в целых числах.

2. Нахождение частного решения. Найдем частное решение $(x_0, y_0)$. Это можно сделать, решив сравнение. Выразим $7x$:

$7x = 1 + 12y$

Это означает, что $7x$ дает остаток 1 при делении на 12. Запишем это в виде сравнения:

$7x \equiv 1 \pmod{12}$

Чтобы найти $x$, нужно умножить обе части на число, обратное к 7 по модулю 12. Найдем это число подбором: $7 \cdot 7 = 49 = 4 \cdot 12 + 1$, значит $49 \equiv 1 \pmod{12}$. Обратное число — это 7.

Умножим обе части сравнения на 7:

$7 \cdot (7x) \equiv 7 \cdot 1 \pmod{12}$

$49x \equiv 7 \pmod{12}$

$x \equiv 7 \pmod{12}$

Это значит, что $x$ может быть любым числом вида $7 + 12k$. Возьмем простейший случай при $k=0$, тогда $x_0=7$.

Подставим $x_0 = 7$ в исходное уравнение, чтобы найти $y_0$:

$7(7) - 12y = 1$

$49 - 12y = 1$

$12y = 48$

$y_0 = 4$

Таким образом, частное решение $(x_0, y_0) = (7, 4)$.

Проверка: $7 \cdot 7 - 12 \cdot 4 = 49 - 48 = 1$. Верно.

3. Нахождение общего решения. Используем те же формулы общего решения, что и в пункте а).

Уравнение можно записать как $7x + (-12)y = 1$. Здесь $a=7, b=-12, d=1, x_0=7, y_0=4$.

Подставляем значения в формулы:

$x = x_0 + \frac{b}{d}n = 7 + \frac{-12}{1}n = 7 - 12n$

$y = y_0 - \frac{a}{d}n = 4 - \frac{7}{1}n = 4 - 7n$

где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $(7 - 12n, 4 - 7n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.