Номер 58.17, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.17, страница 228.

Постройте множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству:

58.17 а) $2|x - 3| + 2x - 3y \le 0;$

б) $x - 3 + |y + 2| \ge 2x + 5.$

a)

Рассмотрим неравенство $2|x - 3| + 2x - 3y \le 0$.

Для решения этого неравенства необходимо раскрыть модуль $|x - 3|$. Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним. Критическая точка: $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$.

Разобьем решение на два случая:

Случай 1: $x - 3 \ge 0$, что равносильно $x \ge 3$.

В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Подставим это в исходное неравенство:

$2(x - 3) + 2x - 3y \le 0$

$2x - 6 + 2x - 3y \le 0$

$4x - 6 - 3y \le 0$

Выразим $y$:

$4x - 6 \le 3y$

$y \ge \frac{4}{3}x - 2$

Таким образом, для $x \ge 3$ решением является множество точек, удовлетворяющих условию $y \ge \frac{4}{3}x - 2$. Это область на координатной плоскости, расположенная не ниже прямой $y = \frac{4}{3}x - 2$ в полуплоскости $x \ge 3$.

Случай 2: $x - 3 < 0$, что равносильно $x < 3$.

В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Подставим это в исходное неравенство:

$2(3 - x) + 2x - 3y \le 0$

$6 - 2x + 2x - 3y \le 0$

$6 - 3y \le 0$

Выразим $y$:

$6 \le 3y$

$y \ge 2$

Таким образом, для $x < 3$ решением является множество точек, удовлетворяющих условию $y \ge 2$. Это область на координатной плоскости, расположенная не ниже прямой $y = 2$ в полуплоскости $x < 3$.

Искомое множество точек является объединением решений, найденных в обоих случаях. Границей этого множества является ломаная линия, состоящая из двух лучей. Найдем точку "излома", подставив $x=3$ в уравнения границ:

Для первого случая: $y = \frac{4}{3}(3) - 2 = 4 - 2 = 2$.

Для второго случая граница — это $y = 2$.

Оба луча выходят из точки $(3, 2)$. Искомое множество — это все точки, лежащие на и выше ломаной, образованной лучами $y = 2$ при $x \le 3$ и $y = \frac{4}{3}x - 2$ при $x \ge 3$.

Ответ: Искомое множество точек — это область координатной плоскости, ограниченная снизу ломаной линией, состоящей из двух лучей, исходящих из точки $(3, 2)$: луч прямой $y = 2$ для $x \le 3$ и луч прямой $y = \frac{4}{3}x - 2$ для $x \ge 3$. Множество включает в себя точки самой ломаной линии и все точки, расположенные выше неё.

б)

Рассмотрим неравенство $x - 3 + |y + 2| \ge 2x + 5$.

Для начала упростим неравенство, выразив член с модулем:

$|y + 2| \ge 2x + 5 - (x - 3)$

$|y + 2| \ge 2x + 5 - x + 3$

$|y + 2| \ge x + 8$

Неравенство вида $|A| \ge B$ равносильно совокупности (объединению) двух неравенств: $A \ge B$ или $A \le -B$.

Применим это правило к нашему неравенству:

$y + 2 \ge x + 8$ или $y + 2 \le -(x + 8)$

Решим каждое неравенство отдельно.

1. $y + 2 \ge x + 8$

$y \ge x + 6$

Решением этого неравенства является полуплоскость, расположенная на и выше прямой $y = x + 6$.

2. $y + 2 \le -(x + 8)$

$y + 2 \le -x - 8$

$y \le -x - 10$

Решением этого неравенства является полуплоскость, расположенная на и ниже прямой $y = -x - 10$.

Искомое множество точек на координатной плоскости является объединением множеств решений этих двух неравенств. Это все точки $(x, y)$, которые удовлетворяют либо первому, либо второму условию.

Границами области являются прямые $y = x + 6$ и $y = -x - 10$. Найдем их точку пересечения:

$x + 6 = -x - 10$

$2x = -16$

$x = -8$

Тогда $y = -8 + 6 = -2$.

Прямые пересекаются в точке $(-8, -2)$.

Искомое множество состоит из двух замкнутых полуплоскостей: одна ограничена снизу прямой $y=x+6$, а другая — сверху прямой $y=-x-10$.

Ответ: Искомое множество точек является объединением двух замкнутых полуплоскостей: множества точек, для которых $y \ge x + 6$, и множества точек, для которых $y \le -x - 10$. Графически это область, расположенная выше прямой $y=x+6$ (включая прямую), и область, расположенная ниже прямой $y=-x-10$ (включая прямую).