Номер 58.20, страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. §58. Уравнения и неравенства с двумя переменными - номер 58.20, страница 228.

Условие.

58.20 a) $xy \le 2;$

б) $y < \frac{2}{|x|};$

В) $|x| \cdot y < 2;$

Г) $|x| < \frac{2}{y}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

а) Рассмотрим неравенство $xy \le 2$. Для нахождения множества точек, удовлетворяющих этому неравенству, проанализируем его в зависимости от знака переменной $x$.

1. Если $x > 0$, можно разделить обе части неравенства на $x$, не меняя знака неравенства: $y \le \frac{2}{x}$. Это соответствует области, расположенной на и ниже ветви гиперболы $y = \frac{2}{x}$ в первой координатной четверти.

2. Если $x < 0$, при делении на $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $y \ge \frac{2}{x}$. Это соответствует области, расположенной на и выше ветви гиперболы $y = \frac{2}{x}$ в третьей координатной четверти.

3. Если $x = 0$, неравенство принимает вид $0 \cdot y \le 2$, что упрощается до $0 \le 2$. Это неравенство верно для любого значения $y$. Таким образом, вся ось ординат ($x=0$) является частью решения.

Итоговое множество является объединением этих трех случаев. Оно включает в себя точки на самой гиперболе $y = \frac{2}{x}$, так как неравенство нестрогое.

Ответ: Множество точек, расположенных между ветвями гиперболы $y = \frac{2}{x}$, включая саму гиперболу и всю ось ординат.

б) Рассмотрим неравенство $y < \frac{2}{|x|}$.

Прежде всего, заметим, что знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Это означает, что ось ординат ($x=0$) не входит в область решения.

Граница области задается уравнением $y = \frac{2}{|x|}$. Раскроем модуль:

• При $x > 0$, уравнение принимает вид $y = \frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы в первой четверти.
• При $x < 0$, уравнение принимает вид $y = \frac{2}{-x} = -\frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы во второй четверти.

Неравенство $y < \frac{2}{|x|}$ означает, что для каждого $x \ne 0$ искомые точки $(x, y)$ должны лежать строго ниже соответствующей точки на графике $y = \frac{2}{|x|}$. Так как неравенство строгое, сама граница (ветви гиперболы) в решение не входит.

Ответ: Множество точек плоскости, расположенных строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$, за исключением точек на оси ординат.

в) Рассмотрим неравенство $|x| \cdot y < 2$.

Разобьем решение на два случая:

1. Если $x = 0$, неравенство принимает вид $|0| \cdot y < 2$, то есть $0 < 2$. Это верное неравенство для любого значения $y$. Следовательно, вся ось ординат ($x=0$) является частью решения.

2. Если $x \ne 0$, то $|x| > 0$. Можно разделить обе части неравенства на $|x|$ без изменения знака неравенства: $y < \frac{2}{|x|}$. Это неравенство совпадает с неравенством из пункта б). Его решением является множество точек, лежащих строго ниже графика $y = \frac{2}{|x|}$.

Общее решение является объединением решений из этих двух случаев.

Ответ: Множество точек плоскости, расположенных строго ниже графика функции $y = \frac{2}{|x|}$, а также все точки на оси ординат.

г) Рассмотрим неравенство $|x| < \frac{2}{y}$.

Для того чтобы неравенство имело смысл, знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $y \ne 0$.

Левая часть неравенства, $|x|$, всегда неотрицательна: $|x| \ge 0$. Чтобы неравенство $|x| < \frac{2}{y}$ могло выполняться, правая часть должна быть строго положительной: $\frac{2}{y} > 0$. Это возможно только при $y > 0$. Таким образом, все решения находятся в верхней полуплоскости.

При $y > 0$ неравенство $|x| < \frac{2}{y}$ равносильно двойному неравенству $-\frac{2}{y} < x < \frac{2}{y}$.

Это неравенство описывает область, заключенную между кривыми $x = -\frac{2}{y}$ и $x = \frac{2}{y}$. Выразим $y$ через $x$ для этих кривых: $y = -\frac{2}{x}$ (для $x < 0, y > 0$) и $y = \frac{2}{x}$ (для $x > 0, y > 0$).

Поскольку исходное неравенство строгое, граничные кривые в решение не входят.

Ответ: Множество точек $(x, y)$, расположенных в верхней полуплоскости ($y > 0$) строго между ветвями гипербол $y = \frac{2}{x}$ (для $x>0$) и $y = -\frac{2}{x}$ (для $x<0$).