Номер 58.24, страница 229, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.24, страница 229.

58.24 Случайным образом выбирают одно из решений системы неравенств

$\begin{cases}|x - y| \le 2, \\|x + y| \le 2.\end{cases}$

Найдите вероятность того, что выбранная точка расположена:

a) ниже прямой $y = 1$;

б) выше прямой $y = 0,5$;

в) правее прямой $x = 1$;

г) выше параболы $y = x^2$.

Для решения задачи по геометрической вероятности сначала определим множество всех возможных исходов. Это множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих системе неравенств:

$\begin{cases} |x - y| \le 2 \\ |x + y| \le 2 \end{cases}$

Раскроем модули. Первое неравенство $|x - y| \le 2$ эквивалентно системе:

$\begin{cases} x - y \le 2 \\ x - y \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge x - 2 \\ y \le x + 2 \end{cases}$

Это область между двумя параллельными прямыми $y = x - 2$ и $y = x + 2$.

Второе неравенство $|x + y| \le 2$ эквивалентно системе:

$\begin{cases} x + y \le 2 \\ x + y \ge -2 \end{cases} \implies \begin{cases} y \le -x + 2 \\ y \ge -x - 2 \end{cases}$

Это область между двумя параллельными прямыми $y = -x + 2$ и $y = -x - 2$.

Множество решений системы неравенств — это пересечение этих двух областей. Найдем вершины фигуры, образованной пересечением граничных прямых:

• $y = x + 2$ и $y = -x + 2 \implies x = 0, y = 2$. Вершина A(0, 2).
• $y = x + 2$ и $y = -x - 2 \implies x = -2, y = 0$. Вершина B(-2, 0).
• $y = x - 2$ и $y = -x - 2 \implies x = 0, y = -2$. Вершина C(0, -2).
• $y = x - 2$ и $y = -x + 2 \implies x = 2, y = 0$. Вершина D(2, 0).

Полученная фигура — это квадрат с вершинами в точках (0, 2), (-2, 0), (0, -2) и (2, 0). Его диагонали лежат на осях координат, длина каждой диагонали равна 4. Площадь этого квадрата (общее пространство элементарных исходов) можно вычислить как половину произведения диагоналей:

$S_{общ} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.

Теперь найдем вероятности для каждого случая. Вероятность $P$ определяется как отношение площади благоприятной области $S_{бл}$ к общей площади $S_{общ}$: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}}$.

а) ниже прямой $y = 1$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где выполняется условие $y < 1$. Проще найти площадь области, которую отсекает прямая $y=1$ сверху, и вычесть ее из общей площади.

Прямая $y=1$ пересекает стороны квадрата, заданные уравнениями $y = x+2$ и $y = -x+2$.

• $1 = x+2 \implies x = -1$. Точка пересечения (-1, 1).
• $1 = -x+2 \implies x = 1$. Точка пересечения (1, 1).

Прямая $y=1$ отсекает от квадрата верхний треугольник с вершинами в точках (0, 2), (-1, 1) и (1, 1). Основание этого треугольника равно $1 - (-1) = 2$, а высота равна $2 - 1 = 1$.

Площадь этого треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$.

Площадь благоприятной области (ниже прямой $y=1$) равна разности общей площади и площади отсеченного треугольника:

$S_{бл(а)} = S_{общ} - S_{треуг} = 8 - 1 = 7$.

Вероятность того, что точка окажется ниже прямой $y=1$:

$P(A) = \frac{S_{бл(а)}}{S_{общ}} = \frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$

б) выше прямой $y = 0,5$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где выполняется условие $y > 0,5$. Эта область ограничена сверху сторонами квадрата, а снизу — прямой $y=0,5$.

Найдем точки пересечения прямой $y=0,5$ со сторонами квадрата $y = x+2$ и $y = -x+2$:

• $0,5 = x+2 \implies x = -1,5$. Точка пересечения (-1,5; 0,5).
• $0,5 = -x+2 \implies x = 1,5$. Точка пересечения (1,5; 0,5).

Благоприятная область — это фигура, ограниченная сверху линиями $y=x+2$ (при $x \in [-1,5; 0]$) и $y=-x+2$ (при $x \in [0; 1,5]$), а снизу — прямой $y=0,5$. Площадь этой фигуры можно найти с помощью интеграла:

$S_{бл(б)} = \int_{-1,5}^{0} ((x+2) - 0,5) \,dx + \int_{0}^{1,5} ((-x+2) - 0,5) \,dx = \int_{-1,5}^{0} (x+1,5) \,dx + \int_{0}^{1,5} (-x+1,5) \,dx$

Вычислим интегралы:

$\int_{-1,5}^{0} (x+1,5) \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 1,5x \right]_{-1,5}^{0} = 0 - (\frac{(-1,5)^2}{2} + 1,5(-1,5)) = -(\frac{2,25}{2} - 2,25) = 1,125 = \frac{9}{8}$.

$\int_{0}^{1,5} (-x+1,5) \,dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + 1,5x \right]_{0}^{1,5} = (-\frac{(1,5)^2}{2} + 1,5 \cdot 1,5) - 0 = -\frac{2,25}{2} + 2,25 = 1,125 = \frac{9}{8}$.

Общая благоприятная площадь: $S_{бл(б)} = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}$.

Вероятность того, что точка окажется выше прямой $y=0,5$:

$P(Б) = \frac{S_{бл(б)}}{S_{общ}} = \frac{9/4}{8} = \frac{9}{32}$.

Ответ: $\frac{9}{32}$

в) правее прямой $x = 1$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где $x > 1$. Эта область представляет собой треугольник, отсекаемый от квадрата прямой $x=1$.

Найдем точки пересечения прямой $x=1$ со сторонами квадрата $y = -x+2$ и $y = x-2$:

• Для $x=1$, $y = -1+2 = 1$. Точка пересечения (1, 1).
• Для $x=1$, $y = 1-2 = -1$. Точка пересечения (1, -1).

Благоприятная область — это треугольник с вершинами в точках (2, 0), (1, 1) и (1, -1). Основание этого треугольника лежит на прямой $x=1$ и имеет длину $1 - (-1) = 2$. Высота треугольника — это расстояние от вершины (2, 0) до прямой $x=1$, она равна $2 - 1 = 1$.

Площадь этого треугольника: $S_{бл(в)} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$.

Вероятность того, что точка окажется правее прямой $x=1$:

$P(В) = \frac{S_{бл(в)}}{S_{общ}} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

г) выше параболы $y = x^2$

Нам нужно найти площадь той части квадрата, где $y > x^2$. Благоприятная область ограничена сверху сторонами квадрата, а снизу — параболой $y=x^2$.

Найдем точки пересечения параболы $y=x^2$ с верхними сторонами квадрата $y = x+2$ и $y = -x+2$:

• $x^2 = x+2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1)=0$. Решения: $x=-1$ (точка (-1, 1)) и $x=2$ (точка (2,4) вне квадрата).
• $x^2 = -x+2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x+2)(x-1)=0$. Решения: $x=1$ (точка (1, 1)) и $x=-2$ (точка (-2,4) вне квадрата).

Парабола не пересекает нижние стороны квадрата, так как уравнения $x^2=x-2$ и $x^2=-x-2$ не имеют вещественных корней.

Благоприятная область находится между параболой $y=x^2$ и верхними сторонами квадрата в интервале $x \in [-1, 1]$. Площадь этой области найдем с помощью интеграла:

$S_{бл(г)} = \int_{-1}^{1} (\text{верхняя граница} - x^2) \,dx = \int_{-1}^{0} ((x+2) - x^2) \,dx + \int_{0}^{1} ((-x+2) - x^2) \,dx$

Вычислим интегралы:

$\int_{-1}^{0} (-x^2+x+2) \,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{0} = 0 - (-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)) = -(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{7}{6}$.

$\int_{0}^{1} (-x^2-x+2) \,dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - 0 = \frac{7}{6}$.

Общая благоприятная площадь: $S_{бл(г)} = \frac{7}{6} + \frac{7}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.

Вероятность того, что точка окажется выше параболы $y=x^2$:

$P(Г) = \frac{S_{бл(г)}}{S_{общ}} = \frac{7/3}{8} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$