Номер 58.10, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.10, страница 227.

58.10 Постройте график уравнения и вычислите площадь фигуры, которая ограничена этим графиком:

а) $2|x| + 3|y| = 6;$

б) $0.5|x| + \frac{1}{3}|y| = 2.$

а) $2|x| + 3|y| = 6$

Чтобы построить график данного уравнения, необходимо рассмотреть его в каждой из четырех координатных четвертей, раскрывая модули. Поскольку в уравнение входят $|x|$ и $|y|$, график будет симметричен относительно обеих координатных осей (оси Ox и оси Oy). Это позволяет нам построить часть графика только в одной четверти, а затем отобразить ее симметрично, чтобы получить полный график.
Рассмотрим первую координатную четверть, где $x \ge 0$ и $y \ge 0$. В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$, и уравнение принимает вид:
$2x + 3y = 6$
Это линейное уравнение, графиком которого является прямая. Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат:
- При $x = 0$, получаем $3y = 6$, откуда $y = 2$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, 2)$.
- При $y = 0$, получаем $2x = 6$, откуда $x = 3$. Точка пересечения с осью Ox — $(3, 0)$.
Таким образом, в первой четверти график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(3, 0)$ и $(0, 2)$.
Теперь, используя свойство симметрии, отражаем этот отрезок относительно оси Oy (получаем отрезок между точками $(-3, 0)$ и $(0, 2)$) и относительно оси Ox (получаем отрезки, соединяющие точки $(3, 0)$ с $(0, -2)$ и $(-3, 0)$ с $(0, -2)$).
В результате получается замкнутая фигура — ромб, вершины которого находятся в точках $(3, 0)$, $(0, 2)$, $(-3, 0)$ и $(0, -2)$.

Для вычисления площади полученной фигуры (ромба) найдем длины его диагоналей. Диагонали ромба лежат на осях координат.
Длина горизонтальной диагонали $d_1$, лежащей на оси Ox, равна расстоянию между точками $(3, 0)$ и $(-3, 0)$: $d_1 = 3 - (-3) = 6$.
Длина вертикальной диагонали $d_2$, лежащей на оси Oy, равна расстоянию между точками $(0, 2)$ и $(0, -2)$: $d_2 = 2 - (-2) = 4$.
Площадь ромба вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2$.
Подставляем значения длин диагоналей:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

Ответ: 12.

б) $0,5|x| + \frac{1}{3}|y| = 2$

Данное уравнение имеет ту же структуру, что и в пункте а), поэтому его график также будет симметричен относительно обеих координатных осей.
Рассмотрим уравнение в первой координатной четверти ($x \ge 0, y \ge 0$), где оно принимает вид:
$0,5x + \frac{1}{3}y = 2$
Найдем точки пересечения этой прямой с осями координат:
- При $x = 0$, получаем $\frac{1}{3}y = 2$, откуда $y = 6$. Точка пересечения с осью Oy — $(0, 6)$.
- При $y = 0$, получаем $0,5x = 2$, откуда $x = 4$. Точка пересечения с осью Ox — $(4, 0)$.
В первой четверти график — это отрезок, соединяющий точки $(4, 0)$ и $(0, 6)$.
За счет симметрии относительно осей, полная фигура является ромбом с вершинами в точках $(4, 0)$, $(0, 6)$, $(-4, 0)$ и $(0, -6)$.

Теперь вычислим площадь этого ромба. Его диагонали лежат на осях координат.
Длина горизонтальной диагонали $d_1$ (по оси Ox) равна $4 - (-4) = 8$.
Длина вертикальной диагонали $d_2$ (по оси Oy) равна $6 - (-6) = 12$.
Площадь ромба: $S = \frac{1}{2}d_1d_2$.
Подставляем найденные значения:
$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 4 \cdot 12 = 48$.

Ответ: 48.