Номер 58.3, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.3, страница 227.

58.3 а) $x^2 - 3xy = 0;$

б) $(x - 1)(y + 5) = 0;$

В) $xy - 2y^2 = 0;$

Г) $xy - 5x + y = 5.$

а) Чтобы решить уравнение $x^2 - 3xy = 0$, вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 3y) = 0$. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений: $x=0$ или $x-3y=0$. Первое уравнение, $x=0$, задает ось ординат. Второе уравнение, $x-3y=0$, можно переписать в виде $y = \frac{x}{3}$, что является уравнением прямой, проходящей через начало координат. Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Решением является множество всех точек, лежащих на прямой $x=0$ или на прямой $y = \frac{x}{3}$.

б) Уравнение $(x - 1)(y + 5) = 0$ уже представлено в виде произведения, равного нулю. Это равенство выполняется, если один из множителей равен нулю. Следовательно, либо $x - 1 = 0$, либо $y + 5 = 0$. Из первого уравнения получаем $x = 1$, что является уравнением вертикальной прямой. Из второго уравнения получаем $y = -5$, что является уравнением горизонтальной прямой. Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Решением является множество всех точек, лежащих на прямой $x=1$ или на прямой $y=-5$.

в) Для решения уравнения $xy - 2y^2 = 0$ вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y(x - 2y) = 0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность уравнений: $y = 0$ или $x - 2y = 0$. Первое уравнение, $y=0$, задает ось абсцисс. Второе уравнение, $x - 2y = 0$, можно представить в виде $y = \frac{x}{2}$, что является уравнением прямой, проходящей через начало координат. Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Решением является множество всех точек, лежащих на прямой $y=0$ или на прямой $y = \frac{x}{2}$.

г) Для решения уравнения $xy - 5x + y = 5$ преобразуем его, перенеся все члены в одну сторону и разложив на множители методом группировки. $xy - 5x + y - 5 = 0$. Сгруппируем слагаемые: $(xy - 5x) + (y - 5) = 0$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x(y - 5) + 1(y - 5) = 0$. Теперь вынесем общий множитель $(y - 5)$: $(x + 1)(y - 5) = 0$. Это равенство истинно, если хотя бы один из множителей равен нулю: $x + 1 = 0$ или $y - 5 = 0$. Из первого уравнения получаем $x = -1$ (вертикальная прямая), из второго — $y = 5$ (горизонтальная прямая). Графиком исходного уравнения является объединение этих двух прямых.
Ответ: Решением является множество всех точек, лежащих на прямой $x=-1$ или на прямой $y=5$.