Номер 57.29, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.29, страница 226.

57.29 a) $(2^x - 3)(3x - 4) \le 0;$

б) $(3\log_3 x - 1)(3x - 4) \ge 0.$

а) $(2^x - 3)(3x - 4) \le 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя, приравняв их к нулю.

1) Найдем корень первого множителя:

$2^x - 3 = 0$

$2^x = 3$

$x_1 = \log_2 3$

2) Найдем корень второго множителя:

$3x - 4 = 0$

$3x = 4$

$x_2 = \frac{4}{3}$

Теперь сравним полученные корни $x_1$ и $x_2$. Для этого сравним $\log_2 3$ и $\frac{4}{3}$.

Можно представить $\frac{4}{3}$ как $\log_2(2^{4/3}) = \log_2(\sqrt[3]{2^4}) = \log_2(\sqrt[3]{16})$.

Теперь сравним подлогарифмические выражения: $3$ и $\sqrt[3]{16}$.

Возведем оба числа в куб: $3^3 = 27$ и $(\sqrt[3]{16})^3 = 16$.

Так как $27 > 16$, то $3 > \sqrt[3]{16}$. Поскольку логарифмическая функция с основанием $2 > 1$ является возрастающей, то $\log_2 3 > \log_2(\sqrt[3]{16})$, следовательно, $\log_2 3 > \frac{4}{3}$.

Отметим на числовой оси точки $x = \frac{4}{3}$ и $x = \log_2 3$ и определим знаки произведения $(2^x - 3)(3x - 4)$ в каждом из трех полученных интервалов.

Функция $f(x) = 2^x - 3$ возрастает и меняет знак с "-" на "+" в точке $x = \log_2 3$.

Функция $g(x) = 3x - 4$ возрастает и меняет знак с "-" на "+" в точке $x = \frac{4}{3}$.

• При $x \in (-\infty, \frac{4}{3})$, имеем: $2^x - 3 < 0$ и $3x - 4 < 0$. Произведение: $(-)\cdot(-)=(+)$.
• При $x \in (\frac{4}{3}, \log_2 3)$, имеем: $2^x - 3 < 0$ и $3x - 4 > 0$. Произведение: $(-)\cdot(+)=(-)$.
• При $x \in (\log_2 3, +\infty)$, имеем: $2^x - 3 > 0$ и $3x - 4 > 0$. Произведение: $(+)\cdot(+)=(+)$.

Неравенство имеет вид $\le 0$, поэтому нас интересует промежуток, где произведение отрицательно, а также точки, где оно равно нулю. Это соответствует отрезку от меньшего корня до большего.

Ответ: $[\frac{4}{3}; \log_2 3]$.

б) $(3\log_3 x - 1)(3x - 4) \ge 0$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$x > 0$

Далее решаем неравенство методом интервалов с учетом ОДЗ. Найдем нули каждого множителя.

1) Найдем корень первого множителя:

$3\log_3 x - 1 = 0$

$3\log_3 x = 1$

$\log_3 x = \frac{1}{3}$

$x_1 = 3^{1/3} = \sqrt[3]{3}$

2) Найдем корень второго множителя:

$3x - 4 = 0$

$3x = 4$

$x_2 = \frac{4}{3}$

Оба корня $x_1 = \sqrt[3]{3}$ и $x_2 = \frac{4}{3}$ являются положительными числами, поэтому они входят в ОДЗ.

Сравним корни. Для этого возведем оба числа в 3-ю степень:

$(\sqrt[3]{3})^3 = 3$

$(\frac{4}{3})^3 = \frac{4^3}{3^3} = \frac{64}{27} = 2\frac{10}{27}$

Так как $3 > \frac{64}{27}$, то $\sqrt[3]{3} > \frac{4}{3}$.

Отметим на числовой оси (с учетом $x>0$) точки $x = \frac{4}{3}$ и $x = \sqrt[3]{3}$ и определим знаки произведения $(3\log_3 x - 1)(3x - 4)$ в каждом из интервалов.

Функция $f(x) = 3\log_3 x - 1$ возрастает и меняет знак с "-" на "+" в точке $x = \sqrt[3]{3}$.

Функция $g(x) = 3x - 4$ возрастает и меняет знак с "-" на "+" в точке $x = \frac{4}{3}$.

• При $x \in (0, \frac{4}{3})$, имеем: $3\log_3 x - 1 < 0$ и $3x - 4 < 0$. Произведение: $(-)\cdot(-)=(+)$.
• При $x \in (\frac{4}{3}, \sqrt[3]{3})$, имеем: $3\log_3 x - 1 < 0$ и $3x - 4 > 0$. Произведение: $(-)\cdot(+)=(-)$.
• При $x \in (\sqrt[3]{3}, +\infty)$, имеем: $3\log_3 x - 1 > 0$ и $3x - 4 > 0$. Произведение: $(+)\cdot(+)=(+)$.

Неравенство имеет вид $\ge 0$, поэтому нас интересуют промежутки, где произведение положительно, и точки, где оно равно нулю.

Ответ: $(0; \frac{4}{3}] \cup [\sqrt[3]{3}; +\infty)$.