Номер 57.33, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.33, страница 226.

57.33 a) $6 \log_3 |x - 1| \le 14 + 2x - x^2;$

б) $\log_2(x^2 + x - 10) > 25 - 2x - 2x^2.$

a) $6 \log_3|x - 1| \le 14 + 2x - x^2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$|x - 1| > 0$

Это выражение верно для всех $x$, кроме $x = 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \ne 1$.

2. Преобразуем правую часть неравенства, выделив полный квадрат:

$14 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 14) = -(x^2 - 2x + 1 - 15) = -((x - 1)^2 - 15) = 15 - (x - 1)^2$.

3. Подставим преобразованное выражение обратно в неравенство:

$6 \log_3|x - 1| \le 15 - (x - 1)^2$

4. Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x - 1|$. Так как $x \ne 1$, то $t > 0$. Заметим, что $(x - 1)^2 = |x - 1|^2 = t^2$.

Неравенство принимает вид:

$6 \log_3 t \le 15 - t^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$6 \log_3 t + t^2 - 15 \le 0$

5. Рассмотрим функцию $f(t) = 6 \log_3 t + t^2 - 15$ при $t > 0$. Найдем ее производную, чтобы исследовать на монотонность:

$f'(t) = (6 \log_3 t + t^2 - 15)' = \frac{6}{t \ln 3} + 2t$

Поскольку $t > 0$ и $\ln 3 > 0$, оба слагаемых в производной положительны. Следовательно, $f'(t) > 0$ для всех $t > 0$, а значит, функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей области определения $(0, +\infty)$.

6. Так как функция $f(t)$ монотонно возрастает, уравнение $f(t) = 0$ может иметь не более одного корня. Найдем его подбором:

При $t=3$: $f(3) = 6 \log_3 3 + 3^2 - 15 = 6 \cdot 1 + 9 - 15 = 0$.

Значит, $t=3$ является единственным корнем уравнения $f(t) = 0$.

7. Решим неравенство $f(t) \le 0$. Поскольку $f(t)$ возрастает и $f(3)=0$, неравенство выполняется при $t \le 3$. С учетом ОДЗ для $t$ ($t>0$), получаем $0 < t \le 3$.

8. Выполним обратную замену:

$0 < |x - 1| \le 3$

Неравенство $0 < |x-1|$ эквивалентно $x \ne 1$, что мы уже учли в ОДЗ.

Решим неравенство $|x - 1| \le 3$. Оно равносильно системе:

$-3 \le x - 1 \le 3$

Прибавим 1 ко всем частям двойного неравенства:

$-3 + 1 \le x \le 3 + 1$

$-2 \le x \le 4$

9. Объединим полученное решение с ОДЗ ($x \ne 1$).

Решением является объединение интервалов $[-2, 1) \cup (1, 4]$.

Ответ: $x \in [-2, 1) \cup (1, 4]$.

б) $\log_2(x^2 + x - 10) > 25 - 2x - 2x^2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 + x - 10 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 10 = 0$ по формуле корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$

Парабола $y = x^2 + x - 10$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется вне корней:

ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}, +\infty)$.

2. Преобразуем исходное неравенство. Перенесем все члены в левую часть:

$\log_2(x^2 + x - 10) + 2x^2 + 2x - 25 > 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить выражение, стоящее под логарифмом:

$\log_2(x^2 + x - 10) + 2(x^2 + x) - 25 > 0$

$\log_2(x^2 + x - 10) + 2(x^2 + x - 10 + 10) - 25 > 0$

$\log_2(x^2 + x - 10) + 2(x^2 + x - 10) + 20 - 25 > 0$

$\log_2(x^2 + x - 10) + 2(x^2 + x - 10) - 5 > 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 + x - 10$. Согласно ОДЗ, $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$\log_2 t + 2t - 5 > 0$

4. Рассмотрим функцию $f(t) = \log_2 t + 2t - 5$ при $t > 0$. Найдем ее производную:

$f'(t) = (\log_2 t + 2t - 5)' = \frac{1}{t \ln 2} + 2$

Так как $t > 0$ и $\ln 2 > 0$, то $f'(t) > 0$ для всех $t > 0$. Значит, функция $f(t)$ является строго возрастающей на $(0, +\infty)$.

5. Так как функция $f(t)$ монотонно возрастает, уравнение $f(t) = 0$ имеет не более одного корня. Найдем его подбором:

При $t=2$: $f(2) = \log_2 2 + 2 \cdot 2 - 5 = 1 + 4 - 5 = 0$.

Значит, $t=2$ — единственный корень.

6. Решим неравенство $f(t) > 0$. Так как $f(t)$ возрастает и $f(2)=0$, неравенство выполняется при $t > 2$.

7. Выполним обратную замену:

$x^2 + x - 10 > 2$

$x^2 + x - 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 + x - 12$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 12 > 0$ выполняется вне корней:

$x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty)$.

8. Заметим, что если $x^2 + x - 12 > 0$, то $x^2 + x > 12$, и тогда $x^2 + x - 10 > 2$. А раз $x^2 + x - 10 > 2$, то условие ОДЗ ($x^2 + x - 10 > 0$) выполняется автоматически. Таким образом, найденное решение является окончательным.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty)$.