Номер 57.30, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.30, страница 226.

57.30 a) $(x + 3)\log_{\frac{1}{7}} x < 0$;

б) $(x - 5)\sqrt{x + 1} < 0$;

В) $\frac{e^{3x - 1} - 1}{x + 8} > 0$;

Г) $x\sqrt{x + 7} < 0$.

а) Решим неравенство $(x + 3)\log_{\frac{1}{7}}x < 0$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
2. Применим метод интервалов. Для этого найдем нули каждого множителя на ОДЗ.
- Первый множитель: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Этот корень не входит в ОДЗ. На всей ОДЗ ($x > 0$) множитель $x + 3$ положителен.
- Второй множитель: $\log_{\frac{1}{7}}x = 0 \implies x = (\frac{1}{7})^0 = 1$.
3. Так как множитель $(x + 3)$ всегда положителен на ОДЗ, то знак всего произведения совпадает со знаком множителя $\log_{\frac{1}{7}}x$. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x > 0 \\ \log_{\frac{1}{7}}x < 0 \end{cases}$
4. Решим неравенство $\log_{\frac{1}{7}}x < 0$. Представим 0 как логарифм по тому же основанию: $\log_{\frac{1}{7}}x < \log_{\frac{1}{7}}1$.
Так как основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ и $0 < a < 1$, то логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x > 1$.
5. Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем, что решение $x > 1$ полностью ему удовлетворяет.
Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

б) Решим неравенство $(x - 5)\sqrt{x + 1} < 0$.
1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Множитель $\sqrt{x + 1}$ на ОДЗ всегда неотрицателен ($\ge 0$).
3. Поскольку неравенство строгое ($< 0$), то случай, когда $\sqrt{x + 1} = 0$ (т.е. $x = -1$), не является решением. Значит, мы должны рассматривать только те значения $x$, при которых $\sqrt{x + 1} > 0$, что эквивалентно $x > -1$.
4. При условии $x > -1$, множитель $\sqrt{x+1}$ положителен. Чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы второй множитель $(x-5)$ был отрицательным.
$x - 5 < 0 \implies x < 5$.
5. Таким образом, неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 5 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x < 5 \end{cases}$
Решением системы является интервал $-1 < x < 5$.
Ответ: $x \in (-1, 5)$.

в) Решим неравенство $\frac{e^{3x-1} - 1}{x + 8} > 0$.
1. Применим метод обобщенной рационализации. Знак выражения $a^{f(x)} - 1$ (где $a > 1$) совпадает со знаком показателя $f(x)$. В нашем случае основание $a = e \approx 2.718$, что больше 1.
2. Следовательно, знак числителя $e^{3x-1} - 1$ совпадает со знаком выражения $3x - 1$.
3. Исходное неравенство равносильно следующему рациональному неравенству:
$\frac{3x - 1}{x + 8} > 0$.
4. Решим это неравенство методом интервалов.
- Нуль числителя: $3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.
- Нуль знаменателя: $x + 8 = 0 \implies x = -8$.
5. Нанесем точки $-8$ и $\frac{1}{3}$ на числовую ось, они разбивают ее на три интервала. Определим знак дроби на каждом интервале.
- Интервал $(-\infty, -8)$: пусть $x = -10$, $\frac{3(-10) - 1}{-10 + 8} = \frac{-31}{-2} > 0$.
- Интервал $(-8, \frac{1}{3})$: пусть $x = 0$, $\frac{3(0) - 1}{0 + 8} = -\frac{1}{8} < 0$.
- Интервал $(\frac{1}{3}, +\infty)$: пусть $x = 1$, $\frac{3(1) - 1}{1 + 8} = \frac{2}{9} > 0$.
6. Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$.

г) Решим неравенство $x\sqrt{x + 7} < 0$.
1. Найдем ОДЗ: $x + 7 \ge 0 \implies x \ge -7$.
2. Множитель $\sqrt{x + 7}$ на ОДЗ всегда $\ge 0$.
3. Так как неравенство строгое, то $\sqrt{x + 7} \neq 0$, следовательно $x + 7 \neq 0 \implies x \neq -7$. Таким образом, $\sqrt{x+7}$ должен быть строго больше нуля.
4. Для того, чтобы произведение было отрицательным, необходимо, чтобы множители имели разные знаки. Поскольку $\sqrt{x + 7} > 0$ при $x > -7$, то множитель $x$ должен быть отрицательным.
5. Неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} x + 7 > 0 \\ x < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -7 \\ x < 0 \end{cases}$
Решением системы является интервал $-7 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-7, 0)$.