Номер 58.2, страница 226, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.2, страница 226.

58.2 Постройте график уравнения:

а) $x^2 = 1$;

б) $y^2 - 6y + 8 = 0$;

в) $3x - 4y = 12$;

г) $2y - x - 4 = 0$.

а) Уравнение $x^2 = 1$ не зависит от переменной $y$. Это означает, что для любого значения $y$ значение $x$ должно удовлетворять этому уравнению. Решим уравнение относительно $x$: $x = \pm\sqrt{1}$, что дает два решения: $x = 1$ и $x = -1$. Каждое из этих уравнений задает прямую, параллельную оси $Oy$. Таким образом, график исходного уравнения представляет собой совокупность двух вертикальных прямых. Первая прямая проходит через точку $(1, 0)$, вторая — через точку $(-1, 0)$.
Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых $x = 1$ и $x = -1$.

б) Уравнение $y^2 - 6y + 8 = 0$ является квадратным уравнением относительно переменной $y$ и не зависит от $x$. Это означает, что для любого значения $x$ значение $y$ должно удовлетворять этому уравнению. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$. Корни уравнения: $y_1 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6-2}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6+2}{2} = 4$. Таким образом, график исходного уравнения состоит из двух горизонтальных прямых, параллельных оси $Ox$: $y = 2$ и $y = 4$.
Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых $y = 2$ и $y = 4$.

в) Уравнение $3x - 4y = 12$ является линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти две точки, принадлежащие ей. Найдем точки пересечения с осями координат. Если $x = 0$, то $3 \cdot 0 - 4y = 12$, откуда $-4y = 12$, $y = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.Если $y = 0$, то $3x - 4 \cdot 0 = 12$, откуда $3x = 12$, $x = 4$. Получаем точку $(4, 0)$.Графиком является прямая, проходящая через эти две точки.
Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(4, 0)$.

г) Уравнение $2y - x - 4 = 0$ также является линейным уравнением с двумя переменными, и его графиком является прямая. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение в виде $y = kx + b$: $2y = x + 4$, откуда $y = \frac{1}{2}x + 2$. Найдем две точки для построения.Если $x = 0$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.Если $y = 0$, то $0 = \frac{1}{2}x + 2$, откуда $\frac{1}{2}x = -2$, $x = -4$. Получаем точку $(-4, 0)$.Графиком является прямая, проходящая через эти две точки.
Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(-4, 0)$.