Номер 58.7, страница 227, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§58. Уравнения и неравенства с двумя переменными. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 58.7, страница 227.

58.7 a) $y = \sqrt{4 - x^2}$;

Б) $|y| = \sqrt{4 - x^2}$;

В) $y = -\sqrt{4 - x^2}$;

Г) $x = \sqrt{4 - y^2}$.

а) Данное уравнение $y = \sqrt{4 - x^2}$ определяет график функции $y(x)$.

1. Анализ уравнения.
Во-первых, найдём область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $4 - x^2 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x^2 \le 4$, что эквивалентно $-2 \le x \le 2$.
Во-вторых, по определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно. Следовательно, $y \ge 0$. Это означает, что график функции будет расположен в верхней полуплоскости (выше оси $Ox$).

2. Преобразование уравнения.
Чтобы определить форму графика, возведём обе части уравнения в квадрат:
$y^2 = (\sqrt{4 - x^2})^2$
$y^2 = 4 - x^2$
Перенесём $x^2$ в левую часть:
$x^2 + y^2 = 4$

3. Вывод.
Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ (или $x^2 + y^2 = 2^2$) является каноническим уравнением окружности с центром в начале координат, точке (0, 0), и радиусом $r = 2$. Учитывая ограничение $y \ge 0$ из первоначального уравнения, мы заключаем, что график представляет собой только верхнюю часть этой окружности.

Ответ: Графиком является верхняя полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2.

б) Рассмотрим уравнение $|y| = \sqrt{4 - x^2}$.

1. Анализ уравнения.
Область определения для $x$ такая же, как в пункте а): $-2 \le x \le 2$. Обе части уравнения неотрицательны ($|y| \ge 0$ и $\sqrt{4 - x^2} \ge 0$).

2. Преобразование уравнения.
Возведение в квадрат в данном случае является равносильным преобразованием, так как обе части неотрицательны.
$(|y|)^2 = (\sqrt{4 - x^2})^2$
Поскольку $(|y|)^2 = y^2$, получаем:
$y^2 = 4 - x^2$
$x^2 + y^2 = 4$

3. Вывод.
В результате преобразований мы получили уравнение окружности $x^2 + y^2 = 2^2$ с центром в (0, 0) и радиусом 2. Так как преобразование было равносильным, никаких дополнительных ограничений на знак $y$ не накладывается (в отличие от пункта а)). Уравнение $|y| = \sqrt{4-x^2}$ объединяет два случая: $y = \sqrt{4-x^2}$ (верхняя полуокружность) и $y = -\sqrt{4-x^2}$ (нижняя полуокружность). Вместе они образуют полную окружность.

Ответ: Графиком уравнения является полная окружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2.

в) Рассмотрим уравнение $y = -\sqrt{4 - x^2}$.

1. Анализ уравнения.
Область определения для $x$ не изменилась: $-2 \le x \le 2$. Значение квадратного корня $\sqrt{4 - x^2}$ неотрицательно. Из-за знака минус перед корнем, значение $y$ всегда будет неположительным, то есть $y \le 0$. График будет расположен в нижней полуплоскости (ниже оси $Ox$).

2. Преобразование уравнения.
Возведем обе части в квадрат:
$y^2 = (-\sqrt{4 - x^2})^2$
$y^2 = 4 - x^2$
$x^2 + y^2 = 4$

3. Вывод.
Мы вновь получили уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом 2. С учётом ограничения $y \le 0$ из исходного уравнения, решением является только та часть окружности, которая лежит в нижней полуплоскости.

Ответ: Графиком является нижняя полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2.

г) Рассмотрим уравнение $x = \sqrt{4 - y^2}$. В этом случае $x$ выражен через $y$.

1. Анализ уравнения.
Найдём область определения для переменной $y$. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4 - y^2 \ge 0$, что даёт $y^2 \le 4$, или $-2 \le y \le 2$.
Поскольку $x$ равен значению арифметического квадратного корня, то $x \ge 0$. Это значит, что график будет расположен в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$).

2. Преобразование уравнения.
Возведем обе части в квадрат:
$x^2 = (\sqrt{4 - y^2})^2$
$x^2 = 4 - y^2$
$x^2 + y^2 = 4$

3. Вывод.
Это уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом 2. Принимая во внимание начальное условие $x \ge 0$, мы заключаем, что график представляет собой правую часть этой окружности.

Ответ: Графиком уравнения является правая полуокружность с центром в точке (0, 0) и радиусом 2.