Номер 57.21, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.21, страница 225.

57.21 a) $\log_2^2(x - 1) + 3 \log_2(x - 1) + 2 \ge 0;$

б) $9^{\log_{0.1} x} - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 0.1^{\log_{0.1} 3} < 0.$

а) $\log_2^2(x - 1) + 3\log_2(x - 1) + 2 \ge 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x - 1 > 0$
$x > 1$
ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2(x - 1)$. Неравенство примет вид:
$t^2 + 3t + 2 \ge 0$

3. Решим квадратное неравенство относительно $t$. Найдем корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$.
Используя теорему Виета, получаем корни $t_1 = -2$ и $t_2 = -1$.
Графиком функции $y = t^2 + 3t + 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны при $t$, находящихся вне интервала между корнями.
Таким образом, $t \le -2$ или $t \ge -1$.

4. Выполним обратную замену и решим совокупность неравенств:
$\log_2(x - 1) \le -2$ или $\log_2(x - 1) \ge -1$.

5. Решим первое логарифмическое неравенство:
$\log_2(x - 1) \le -2$
$\log_2(x - 1) \le \log_2(2^{-2})$
Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x - 1 \le 2^{-2}$
$x - 1 \le \frac{1}{4}$
$x \le 1 + \frac{1}{4}$
$x \le \frac{5}{4}$

6. Решим второе логарифмическое неравенство:
$\log_2(x - 1) \ge -1$
$\log_2(x - 1) \ge \log_2(2^{-1})$
Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x - 1 \ge 2^{-1}$
$x - 1 \ge \frac{1}{2}$
$x \ge 1 + \frac{1}{2}$
$x \ge \frac{3}{2}$

7. Объединим полученные решения и учтем ОДЗ ($x > 1$).
Из $x \le \frac{5}{4}$ и $x > 1$ следует $1 < x \le \frac{5}{4}$.
Из $x \ge \frac{3}{2}$ и $x > 1$ следует $x \ge \frac{3}{2}$.
Итоговое решение является объединением этих двух множеств.

Ответ: $x \in (1; \frac{5}{4}] \cup [\frac{3}{2}; +\infty)$.

б) $9^{\log_{0.1} x} - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 0.1^{\log_{0.1} 3} < 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x > 0$
ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

2. Упростим неравенство. Заметим, что $9^{\log_{0.1} x} = (3^2)^{\log_{0.1} x} = (3^{\log_{0.1} x})^2$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упростим последнее слагаемое:
$0.1^{\log_{0.1} 3} = 3$.
Неравенство принимает вид:
$(3^{\log_{0.1} x})^2 - 4 \cdot 3^{\log_{0.1} x} + 3 < 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{\log_{0.1} x}$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$. Неравенство примет вид:
$t^2 - 4t + 3 < 0$

4. Решим квадратное неравенство относительно $t$. Корнями уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$ являются $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Графиком функции $y = t^2 - 4t + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны при $t$, находящихся между корнями.
$1 < t < 3$.

5. Выполним обратную замену:
$1 < 3^{\log_{0.1} x} < 3$
Представим границы интервала в виде степеней с основанием 3:
$3^0 < 3^{\log_{0.1} x} < 3^1$

6. Так как основание степени $3 > 1$, можем перейти к неравенству для показателей, сохраняя знаки:
$0 < \log_{0.1} x < 1$

7. Решим двойное логарифмическое неравенство. Представим 0 и 1 в виде логарифмов с основанием 0.1:
$\log_{0.1}(1) < \log_{0.1} x < \log_{0.1}(0.1)$
Так как основание логарифма $0.1 \in (0; 1)$, при переходе к аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:
$1 > x > 0.1$, что эквивалентно $0.1 < x < 1$.

8. Полученное решение $x \in (0.1; 1)$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (0.1; 1)$.