Номер 57.17, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.17, страница 225.

57.17 a) $3^{1+x} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5;$

б) $2^x \cdot 5^{1-x} + 2^{x+1} \cdot 5^{-x} \ge 2,8.$

a) $3^{1+x} \cdot 2^{1-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$):

$3^1 \cdot 3^x \cdot 2^1 \cdot 2^{-x} + 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

Сгруппируем множители и вынесем общий множитель $3^x \cdot 2^{-x}$ за скобки:

$6 \cdot (3^x \cdot 2^{-x}) + 1 \cdot (3^x \cdot 2^{-x}) \le 10,5$

$(6 + 1) \cdot 3^x \cdot 2^{-x} \le 10,5$

$7 \cdot \frac{3^x}{2^x} \le 10,5$

$7 \cdot (\frac{3}{2})^x \le 10,5$

Разделим обе части неравенства на 7:

$(\frac{3}{2})^x \le \frac{10,5}{7}$

$(\frac{3}{2})^x \le 1,5$

Представим десятичную дробь 1,5 в виде обыкновенной: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Получаем неравенство:

$(\frac{3}{2})^x \le (\frac{3}{2})^1$

Так как основание степени $\frac{3}{2} > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется:

$x \le 1$

Ответ: $x \le 1$

б) $2^x \cdot 5^{1-x} + 2^{x+1} \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства степеней:

$2^x \cdot 5^1 \cdot 5^{-x} + 2^x \cdot 2^1 \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

Сгруппируем множители и вынесем общий множитель $2^x \cdot 5^{-x}$ за скобки:

$5 \cdot (2^x \cdot 5^{-x}) + 2 \cdot (2^x \cdot 5^{-x}) \ge 2,8$

$(5 + 2) \cdot 2^x \cdot 5^{-x} \ge 2,8$

$7 \cdot \frac{2^x}{5^x} \ge 2,8$

$7 \cdot (\frac{2}{5})^x \ge 2,8$

Разделим обе части неравенства на 7:

$(\frac{2}{5})^x \ge \frac{2,8}{7}$

$(\frac{2}{5})^x \ge 0,4$

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Получаем неравенство:

$(\frac{2}{5})^x \ge (\frac{2}{5})^1$

Так как основание степени $\frac{2}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 1$

Ответ: $x \le 1$