Номер 57.10, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.10, страница 224.

Решите неравенства, применяя теоремы о равносильности:

57.10 а) $\log_{14}(x - 1) \le \log_{14}(2x + 3)$;

б) $\log_{0,3}(2x + 1) < \log_{0,3}(x - 3)$.

а) Решим неравенство $\log_{14}(x - 1) \le \log_{14}(2x + 3)$.

Данное логарифмическое неравенство имеет вид $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$. Основание логарифма $a = 14$, и так как $a > 1$, логарифмическая функция $y = \log_{14}(t)$ является возрастающей. Согласно теореме о равносильности, такое неравенство эквивалентно системе, в которой знак неравенства для аргументов сохраняется, а также учитывается область определения логарифмов (аргументы должны быть положительными). Достаточно потребовать, чтобы меньший из аргументов был больше нуля, так как это автоматически обеспечит положительность и второго аргумента.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$$\begin{cases}x - 1 \le 2x + 3 \\x - 1 > 0\end{cases}$$

Решим каждое неравенство в системе:

1) $x - 1 \le 2x + 3 \implies -1 - 3 \le 2x - x \implies -4 \le x$, то есть $x \ge -4$.

2) $x - 1 > 0 \implies x > 1$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \ge -4$ и $x > 1$. Общим решением является промежуток $x > 1$.

Ответ: $(1; +\infty)$

б) Решим неравенство $\log_{0,3}(2x + 1) < \log_{0,3}(x - 3)$.

Данное логарифмическое неравенство имеет вид $\log_a f(x) < \log_a g(x)$. Основание логарифма $a = 0,3$, и так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{0,3}(t)$ является убывающей. Согласно теореме о равносильности, такое неравенство эквивалентно системе, в которой знак неравенства для аргументов меняется на противоположный, а также учитывается область определения. Достаточно потребовать, чтобы новый меньший аргумент был больше нуля.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$$\begin{cases}2x + 1 > x - 3 \\x - 3 > 0\end{cases}$$

Решим каждое неравенство в системе:

1) $2x + 1 > x - 3 \implies 2x - x > -3 - 1 \implies x > -4$.

2) $x - 3 > 0 \implies x > 3$.

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > -4$ и $x > 3$. Общим решением является промежуток $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$