Номер 57.12, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.12, страница 225.

57.12 a) $2^{\sqrt{x+4}} \ge \frac{1}{2}\sqrt{128};$

б) $0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \le 1.$

а) $2^{\sqrt{x+4}} \geq \frac{1}{2}\sqrt{128}$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, имеем:

$x+4 \geq 0 \implies x \geq -4$

Теперь преобразуем правую часть неравенства, чтобы привести ее к степени с основанием 2, как и в левой части.

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\sqrt{128} = \sqrt{2^7} = (2^7)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{7}{2}}$

Тогда правая часть неравенства будет равна:

$\frac{1}{2}\sqrt{128} = 2^{-1} \cdot 2^{\frac{7}{2}} = 2^{-1+\frac{7}{2}} = 2^{\frac{-2+7}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}$

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:

$2^{\sqrt{x+4}} \geq 2^{\frac{5}{2}}$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение показателя степени. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$\sqrt{x+4} \geq \frac{5}{2}$

Так как обе части этого неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(\sqrt{x+4})^2 \geq (\frac{5}{2})^2$

$x+4 \geq \frac{25}{4}$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$x \geq \frac{25}{4} - 4$

$x \geq \frac{25}{4} - \frac{16}{4}$

$x \geq \frac{9}{4}$

Полученное решение $x \geq \frac{9}{4}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \geq -4$), следовательно, оно и является окончательным решением.

Ответ: $x \in [\frac{9}{4}; +\infty)$.

б) $0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \leq 1$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $0,5$:

$1 = 0,5^0$

Тогда неравенство примет вид:

$0,5^{\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}} \leq 0,5^0$

Поскольку основание степени $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=0,5^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение показателя степени. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \geq 0$

Перенесем слагаемое в правую часть:

$\sin x \geq -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения этого тригонометрического неравенства рассмотрим единичную окружность. Нам нужно найти все углы $x$, для которых значение синуса (ордината точки на окружности) больше или равно $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сначала найдем корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этими корнями являются $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На единичной окружности значениям $\sin x$, которые больше или равны $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствует дуга, заключенная между точками $-\frac{\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$ при движении против часовой стрелки.

Таким образом, решение неравенства можно записать в виде двойного неравенства, учитывая периодичность синуса:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq x \leq \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.