Номер 57.8, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.8, страница 224.

Решите совокупность неравенств:

57.8 а) $\begin{cases}x^2 - 4 > 0, \\x - 6 < 0;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x(x + 1) \le 0, \\3x - 9 > 0.\end{cases}$

а)

Решим первое неравенство совокупности:

$x^2 - 4 > 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:

$(x - 2)(x + 2) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4 = 0$. Корни равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции положительны при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Решением первого неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство совокупности:

$x - 6 < 0$

Перенесем -6 в правую часть неравенства:

$x < 6$

Решением второго неравенства является интервал: $x \in (-\infty, 6)$.

Решением совокупности является объединение множеств решений каждого из неравенств. Найдем объединение множеств $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ и $(-\infty, 6)$.

Объединение множеств $S_1 = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ и $S_2 = (-\infty, 6)$ включает в себя все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Можно заметить, что любой действительное число $x$ удовлетворяет хотя бы одному из неравенств:

• Если $x < 6$, то выполняется второе неравенство. Это покрывает весь интервал $(-\infty, 6)$.
• Если $x \ge 6$, то $x$ также принадлежит интервалу $(2, +\infty)$, поэтому выполняется первое неравенство.

Таким образом, объединение этих множеств покрывает всю числовую прямую.

Другой способ проверки — найти значения $x$, для которых не выполняется ни одно из неравенств. Это будет пересечение решений обратных неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 \le 0 \\ x - 6 \ge 0 \end{cases}$

Решением первого неравенства $x^2 - 4 \le 0$ является отрезок $[-2, 2]$.

Решением второго неравенства $x - 6 \ge 0$ является луч $[6, +\infty)$.

Пересечение этих двух множеств $[-2, 2] \cap [6, +\infty)$ является пустым множеством ($\emptyset$). Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых оба исходных неравенства были бы ложными. Следовательно, хотя бы одно из них всегда истинно.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

б)

Решим первое неравенство совокупности:

$x(x + 1) \le 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x + 1) = 0$. Корни равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Графиком функции $y = x^2 + x$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Решением первого неравенства является отрезок: $x \in [-1, 0]$.

Теперь решим второе неравенство совокупности:

$3x - 9 > 0$

Перенесем -9 в правую часть и разделим обе части на 3:

$3x > 9$

$x > 3$

Решением второго неравенства является интервал: $x \in (3, +\infty)$.

Решением совокупности является объединение множеств решений каждого из неравенств. Найдем объединение множеств $[-1, 0]$ и $(3, +\infty)$.

Поскольку эти два множества не пересекаются, их объединение — это просто оба этих множества.

Ответ: $x \in [-1, 0] \cup (3, +\infty)$.