Номер 57.5, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.5, страница 224.

57.5 a) ${ \begin{cases} (x + 1)^2 - (x - 1)^2 \geq 12, \\ (x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9; \end{cases} }$

б) ${ \begin{cases} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x, \\ 3x - 16 \leq x. \end{cases} }$

a)

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} (x + 1)^2 - (x - 1)^2 \ge 12, \\ (x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x + 1)^2 - (x - 1)^2 \ge 12$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((x + 1) - (x - 1))((x + 1) + (x - 1)) \ge 12$

$(x + 1 - x + 1)(x + 1 + x - 1) \ge 12$

$(2)(2x) \ge 12$

$4x \ge 12$

Разделим обе части на 4:

$x \ge 3$

Решение первого неравенства: $x \in [3; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $(x + 4)(x - 4) - (x + 2)^2 < 9$.

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(x^2 - 16) - (x^2 + 4x + 4) < 9$

Раскроем скобки:

$x^2 - 16 - x^2 - 4x - 4 < 9$

Приведем подобные слагаемые:

$-4x - 20 < 9$

$-4x < 29$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x > -\frac{29}{4}$

$x > -7.25$

Решение второго неравенства: $x \in (-7.25; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решением системы является пересечение промежутков $x \in [3; +\infty)$ и $x \in (-7.25; +\infty)$.

Следовательно, решение системы: $x \ge 3$.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

б)

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} (x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x, \\ 3x - 16 \le x. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) - x^3 < 8x$.

Выражение $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ является формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$(x^3 - 2^3) - x^3 < 8x$

$x^3 - 8 - x^3 < 8x$

$-8 < 8x$

$-1 < x$

Решение первого неравенства: $x \in (-1; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $3x - 16 \le x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$3x - x \le 16$

$2x \le 16$

$x \le 8$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 8]$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Решением системы является пересечение промежутков $x \in (-1; +\infty)$ и $x \in (-\infty; 8]$.

Следовательно, решение системы: $-1 < x \le 8$.

Ответ: $x \in (-1; 8]$.