Номер 57.7, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.7, страница 224.

57.7 a)

$\left\{ \begin{aligned}\frac{x}{x + 2} - \frac{24}{(x + 2)^2} < 0, \\-3x < 9;\end{aligned} \right.$

б) $\left\{ \begin{aligned}\frac{x^2 - 1,5x - 7}{(x - 4)^2} > 0, \\x^2 < 25.\end{aligned} \right.$

а)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x}{x+2} - \frac{24}{(x+2)^2} < 0, \\ -3x < 9. \end{cases} $

1. Сначала решим первое неравенство:

$\frac{x}{x+2} - \frac{24}{(x+2)^2} < 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю $(x+2)^2$:

$\frac{x(x+2) - 24}{(x+2)^2} < 0$

$\frac{x^2 + 2x - 24}{(x+2)^2} < 0$

Знаменатель $(x+2)^2$ всегда положителен при $x \neq -2$. Поэтому знак всей дроби определяется знаком числителя. Таким образом, неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 2x - 24 < 0, \\ x \neq -2. \end{cases} $

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 2x - 24 = 0$. Используя теорему Виета (или формулу для корней), находим корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 24$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями, то есть при $x \in (-6, 4)$.

Учитывая ограничение $x \neq -2$, получаем решение первого неравенства: $x \in (-6, -2) \cup (-2, 4)$.

2. Теперь решим второе неравенство:

$-3x < 9$

Разделим обе части на -3, не забывая изменить знак неравенства на противоположный:

$x > -3$

Решение второго неравенства: $x \in (-3, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств, чтобы получить решение системы.

Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-6, -2) \cup (-2, 4)$ и $x \in (-3, +\infty)$.

Графически это выглядит как пересечение интервалов на числовой оси. В результате получаем: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 4)$.

б)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x^2 - 1,5x - 7}{(x-4)^2} > 0, \\ x^2 < 25. \end{cases} $

1. Сначала решим первое неравенство:

$\frac{x^2 - 1,5x - 7}{(x-4)^2} > 0$

Знаменатель $(x-4)^2$ всегда положителен при $x \neq 4$. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 1,5x - 7 > 0, \\ x \neq 4. \end{cases} $

Найдем корни уравнения $x^2 - 1,5x - 7 = 0$. Для удобства умножим уравнение на 2: $2x^2 - 3x - 14 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 11}{4} = -2$, $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 11}{4} = \frac{14}{4} = 3,5$.

Графиком функции $y = x^2 - 1,5x - 7$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями, то есть при $x \in (-\infty, -2) \cup (3,5, +\infty)$.

Учитывая ограничение $x \neq 4$, которое находится в интервале $(3,5, +\infty)$, мы должны исключить эту точку. Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -2) \cup (3,5, 4) \cup (4, +\infty)$.

2. Теперь решим второе неравенство:

$x^2 < 25$

Это неравенство равносильно $|x| < 5$, что означает $-5 < x < 5$.

Решение второго неравенства: $x \in (-5, 5)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств.

Нам нужно найти пересечение множеств $x \in (-\infty, -2) \cup (3,5, 4) \cup (4, +\infty)$ и $x \in (-5, 5)$.

Пересечение $(-5, 5)$ с $(-\infty, -2)$ дает интервал $(-5, -2)$.

Пересечение $(-5, 5)$ с $(3,5, 4)$ дает интервал $(3,5, 4)$.

Пересечение $(-5, 5)$ с $(4, +\infty)$ дает интервал $(4, 5)$.

Объединяя полученные интервалы, получаем окончательное решение системы.

Ответ: $x \in (-5, -2) \cup (3,5, 4) \cup (4, 5)$.