Номер 57.4, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.4, страница 224.

Решите систему неравенств:

57.4 a) $ \begin{cases} 3x - 11 > 2x + 13, \\ 17x + 9 < 9x + 99; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 6x + 2 \le 4x + 24, \\ 2x - 1 \ge x + 7. \end{cases} $

а)

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$3x - 11 > 2x + 13$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а свободные члены — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$3x - 2x > 13 + 11$

Приведем подобные слагаемые:

$x > 24$

Решением первого неравенства является промежуток $(24; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство:

$17x + 9 < 9x + 99$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$17x - 9x < 99 - 9$

Приведем подобные слагаемые:

$8x < 90$

Разделим обе части неравенства на 8:

$x < \frac{90}{8}$

$x < \frac{45}{4}$

$x < 11.25$

Решением второго неравенства является промежуток $(-\infty; 11.25)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x > 24$ и $x < 11.25$.

$\begin{cases} x > 24 \\ x < 11.25 \end{cases}$

Таких значений $x$ не существует, так как нет числа, которое было бы одновременно больше 24 и меньше 11.25. Следовательно, система неравенств не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решим первое неравенство:

$6x + 2 \le 4x + 24$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x - 4x \le 24 - 2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x \le 22$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x \le 11$

Решением первого неравенства является промежуток $(-\infty; 11]$.

2. Решим второе неравенство:

$2x - 1 \ge x + 7$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - x \ge 7 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$x \ge 8$

Решением второго неравенства является промежуток $[8; +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \le 11$ и $x \ge 8$.

$\begin{cases} x \le 11 \\ x \ge 8 \end{cases}$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $8 \le x \le 11$.

Решением системы является числовой промежуток, в котором значения $x$ больше или равны 8 и одновременно меньше или равны 11.

Ответ: $[8; 11]$.