Номер 56.40, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.40, страница 223.

56.40 a) $\sin \frac{5\pi}{4}x = x^2 - 4x + 5;$

б) $-\cos 7\pi x = x^2 - 6x + 10.$

а) Рассмотрим уравнение $\sin(\frac{5\pi}{4}x) = x^2 - 4x + 5$.
Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки области значений левой и правой частей.

1. Оценим левую часть уравнения.
Функция $f(x) = \sin(\frac{5\pi}{4}x)$ является синусом. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого действительного значения $x$ выполняется неравенство:
$-1 \le \sin(\frac{5\pi}{4}x) \le 1$.
Таким образом, левая часть уравнения не может быть больше $1$.

2. Оценим правую часть уравнения.
Функция $g(x) = x^2 - 4x + 5$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Наименьшее значение этой функции находится в вершине параболы. Найдем его, выделив полный квадрат:
$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 5 = (x-2)^2 + 1$.
Поскольку выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $(x-2)^2 \ge 0$), то наименьшее значение всей правой части равно $1$. Это значение достигается при $x=2$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство:
$x^2 - 4x + 5 \ge 1$.

3. Сделаем вывод.
Мы установили, что левая часть уравнения $\sin(\frac{5\pi}{4}x) \le 1$, а правая часть $x^2 - 4x + 5 \ge 1$.
Равенство между ними возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $1$. Это эквивалентно решению системы уравнений:
$\begin{cases} \sin(\frac{5\pi}{4}x) = 1 \\ x^2 - 4x + 5 = 1 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы, так как оно проще:
$x^2 - 4x + 5 = 1$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
Отсюда получаем единственное решение $x=2$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли это значение первому уравнению системы. Подставим $x=2$ в первое уравнение:
$\sin(\frac{5\pi}{4} \cdot 2) = \sin(\frac{10\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{2})$.
Используя периодичность синуса, получаем:
$\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Равенство $1=1$ выполняется. Следовательно, $x=2$ является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ: $2$.

б) Рассмотрим уравнение $-\cos(7\pi x) = x^2 - 6x + 10$.
Как и в предыдущем задании, применим метод оценки.

1. Оценим левую часть уравнения.
Функция $f(x) = -\cos(7\pi x)$. Область значений функции косинус — отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos(7\pi x) \le 1$. Умножив все части неравенства на $-1$ и поменяв знаки неравенства, получим:
$1 \ge -\cos(7\pi x) \ge -1$.
Таким образом, левая часть уравнения не может быть больше $1$.

2. Оценим правую часть уравнения.
Функция $g(x) = x^2 - 6x + 10$ является квадратичной с ветвями параболы вверх. Найдем ее наименьшее значение, выделив полный квадрат:
$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 10 = (x-3)^2 + 1$.
Так как $(x-3)^2 \ge 0$, наименьшее значение правой части равно $1$ и достигается при $x=3$. Таким образом, для любого $x$ имеем:
$x^2 - 6x + 10 \ge 1$.

3. Сделаем вывод.
Мы получили, что левая часть уравнения $-\cos(7\pi x) \le 1$, а правая часть $x^2 - 6x + 10 \ge 1$.
Равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны $1$. Составим систему уравнений:
$\begin{cases} -\cos(7\pi x) = 1 \\ x^2 - 6x + 10 = 1 \end{cases}$

Решим второе уравнение:
$x^2 - 6x + 10 = 1$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x-3)^2 = 0$
Отсюда $x=3$.

Проверим найденное значение $x=3$, подставив его в первое уравнение системы:
$-\cos(7\pi \cdot 3) = -\cos(21\pi)$.
Используя свойство четности и периодичность косинуса, находим:
$\cos(21\pi) = \cos(20\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.
Тогда левая часть равна:
$-\cos(21\pi) = -(-1) = 1$.
Равенство $1=1$ истинно. Значит, $x=3$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $3$.