Номер 56.34, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.34, страница 222.

56.34 a) $cos 5x + cos 7x - cos 6x = 0;$

б) $sin 9x - sin 5x + sin 4x = 0.$

а) $cos5x + cos7x - cos6x = 0$

Для решения данного уравнения сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы косинусов: $cos\alpha + cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$(cos7x + cos5x) - cos6x = 0$
$2\cos\frac{7x+5x}{2}\cos\frac{7x-5x}{2} - \cos6x = 0$
$2\cos\frac{12x}{2}\cos\frac{2x}{2} - \cos6x = 0$
$2\cos6x \cdot \cos x - \cos6x = 0$
Теперь вынесем общий множитель $\cos6x$ за скобки:
$\cos6x(2\cos x - 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:
1) $\cos6x = 0$
Это частный случай тригонометрического уравнения, решения которого имеют вид:
$6x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$
2) $2\cos x - 1 = 0$
$\cos x = \frac{1}{2}$
Решения этого уравнения:
$x = \pm\arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}; \ x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $sin9x - sin5x + sin4x = 0$

Для решения этого уравнения сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу разности синусов: $sin\alpha - sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.
$(sin9x - sin5x) + sin4x = 0$
$2\sin\frac{9x-5x}{2}\cos\frac{9x+5x}{2} + sin4x = 0$
$2\sin\frac{4x}{2}\cos\frac{14x}{2} + sin4x = 0$
$2\sin2x\cos7x + sin4x = 0$
Теперь применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ к слагаемому $sin4x$:
$2\sin2x\cos7x + 2\sin2x\cos2x = 0$
Вынесем общий множитель $2\sin2x$ за скобки:
$2\sin2x(\cos7x + \cos2x) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $\sin2x = 0$
Это частный случай, его решения:
$2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$
2) $\cos7x + \cos2x = 0$
Для решения этого уравнения применим формулу суммы косинусов $cos\alpha + cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$2\cos\frac{7x+2x}{2}\cos\frac{7x-2x}{2} = 0$
$2\cos\frac{9x}{2}\cos\frac{5x}{2} = 0$
Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:
2a) $\cos\frac{9x}{2} = 0$
$\frac{9x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$9x = \pi + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$
2b) $\cos\frac{5x}{2} = 0$
$\frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$
$5x = \pi + 2\pi m$
$x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5}$, где $m \in \mathbb{Z}$
Собираем все три серии решений.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}; \ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{9}; \ x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5}, \text{ где } n, k, m \in \mathbb{Z}$.