Номер 56.35, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.35, страница 222.

56.35 a) $\cos 6x - \cos 2x + \cos 8x - \cos 4x = 0;$

б) $\sin 3x - \sin x + \cos 3x - \cos x = 0.$

а) $\cos 6x - \cos 2x + \cos 8x - \cos 4x = 0$

Сгруппируем члены уравнения для применения формул преобразования суммы и разности в произведение:

$(\cos 8x + \cos 6x) - (\cos 4x + \cos 2x) = 0$

Применим формулу суммы косинусов $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$ к каждой паре:

$2 \cos \frac{8x+6x}{2} \cos \frac{8x-6x}{2} - 2 \cos \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2} = 0$

Упростим полученное выражение:

$2 \cos 7x \cos x - 2 \cos 3x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \cos x$ за скобки:

$2 \cos x (\cos 7x - \cos 3x) = 0$

Теперь применим формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$ к выражению в скобках:

$2 \cos x (-2 \sin \frac{7x+3x}{2} \sin \frac{7x-3x}{2}) = 0$

Упростим:

$-4 \cos x \sin 5x \sin 2x = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\sin 5x = 0 \implies 5x = \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

3) $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi m, m \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$

Заметим, что первая серия корней ($x = \frac{\pi}{2} + \pi n$) является частным случаем третьей серии корней ($x = \frac{\pi m}{2}$) при нечетных $m$. Поэтому достаточно объединить вторую и третью серии решений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}.$

б) $\sin 3x - \sin x + \cos 3x - \cos x = 0$

Сгруппируем члены уравнения:

$(\sin 3x - \sin x) + (\cos 3x - \cos x) = 0$

Применим формулы разности синусов $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ и разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2 \sin \frac{3x-x}{2} \cos \frac{3x+x}{2} - 2 \sin \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2} = 0$

Упростим выражения в аргументах функций:

$2 \sin x \cos 2x - 2 \sin 2x \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:

$2 \sin x (\cos 2x - \sin 2x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1) $\sin x = 0$

$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\cos 2x - \sin 2x = 0$

$\cos 2x = \sin 2x$

Разделим обе части уравнения на $\cos 2x$. Это возможно, так как если $\cos 2x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin 2x = 0$, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$.

$\tan 2x = 1$

$2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}.$