Номер 56.42, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.42, страница 223.

56.42 a) $\log_2(x^2 - 4x + 8) = \sin \frac{5\pi x}{4} - \cos \frac{\pi x}{2};$

б) $\log_3(x^2 + 4x + 13) = \cos \pi x - \sin \frac{\pi x}{4}.$

а) $ \log_2(x^2 - 4x + 8) = \sin\frac{5\pi x}{4} - \cos\frac{\pi x}{2} $

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки. Рассмотрим левую и правую части уравнения по отдельности.

1. Левая часть: $ f(x) = \log_2(x^2 - 4x + 8) $.

Выражение под знаком логарифма представляет собой квадратичную функцию $ y = x^2 - 4x + 8 $. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем ее вершину, чтобы определить наименьшее значение.

Координата вершины по оси $x$: $ x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 $.

Наименьшее значение квадратного трехчлена равно значению функции в вершине: $ y_{min} = 2^2 - 4(2) + 8 = 4 - 8 + 8 = 4 $.

Так как $ x^2 - 4x + 8 \ge 4 $ и функция $ \log_2(t) $ является возрастающей, то наименьшее значение левой части уравнения равно:

$ \log_2(4) = 2 $.

Таким образом, для левой части уравнения справедливо неравенство: $ \log_2(x^2 - 4x + 8) \ge 2 $.

2. Правая часть: $ g(x) = \sin\frac{5\pi x}{4} - \cos\frac{\pi x}{2} $.

Оценим множество значений этой функции. Известно, что $ -1 \le \sin\alpha \le 1 $ и $ -1 \le \cos\beta \le 1 $. Тогда максимальное значение выражения $ \sin\alpha - \cos\beta $ достигается, когда $ \sin\alpha $ принимает максимальное значение (1), а $ \cos\beta $ - минимальное (-1).

Максимальное значение правой части: $ 1 - (-1) = 2 $.

Таким образом, для правой части уравнения справедливо неравенство: $ \sin\frac{5\pi x}{4} - \cos\frac{\pi x}{2} \le 2 $.

3. Решение уравнения.

Исходное уравнение $ f(x) = g(x) $ может иметь решение только в том случае, если обе его части одновременно равны 2, то есть:

$ \begin{cases} \log_2(x^2 - 4x + 8) = 2 \\ \sin\frac{5\pi x}{4} - \cos\frac{\pi x}{2} = 2 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$ \log_2(x^2 - 4x + 8) = 2 $

$ x^2 - 4x + 8 = 2^2 $

$ x^2 - 4x + 4 = 0 $

$ (x-2)^2 = 0 $

$ x = 2 $

Теперь проверим, обращается ли правая часть в 2 при $ x = 2 $.

$ \sin\frac{5\pi \cdot 2}{4} - \cos\frac{\pi \cdot 2}{2} = \sin\frac{5\pi}{2} - \cos\pi = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) - (-1) = \sin\frac{\pi}{2} + 1 = 1 + 1 = 2 $.

Условие для правой части выполняется. Следовательно, $ x = 2 $ является единственным решением уравнения.

Ответ: $ 2 $

б) $ \log_3(x^2 + 4x + 13) = \cos(\pi x) - \sin\frac{\pi x}{4} $

Решим это уравнение методом оценки, аналогично предыдущему пункту.

1. Левая часть: $ f(x) = \log_3(x^2 + 4x + 13) $.

Рассмотрим выражение под знаком логарифма $ y = x^2 + 4x + 13 $. Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение в вершине.

Координата вершины по оси $x$: $ x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2 $.

Наименьшее значение квадратного трехчлена: $ y_{min} = (-2)^2 + 4(-2) + 13 = 4 - 8 + 13 = 9 $.

Так как $ x^2 + 4x + 13 \ge 9 $ и функция $ \log_3(t) $ возрастающая, то наименьшее значение левой части уравнения:

$ \log_3(9) = 2 $.

Следовательно, $ \log_3(x^2 + 4x + 13) \ge 2 $.

2. Правая часть: $ g(x) = \cos(\pi x) - \sin\frac{\pi x}{4} $.

Максимальное значение функции $ \cos\alpha $ равно 1, а минимальное значение функции $ \sin\beta $ равно -1. Поэтому максимальное значение разности $ \cos\alpha - \sin\beta $ равно $ 1 - (-1) = 2 $.

Таким образом, для правой части справедливо неравенство: $ \cos(\pi x) - \sin\frac{\pi x}{4} \le 2 $.

3. Решение уравнения.

Равенство $ f(x) = g(x) $ возможно только тогда, когда обе части равны 2:

$ \begin{cases} \log_3(x^2 + 4x + 13) = 2 \\ \cos(\pi x) - \sin\frac{\pi x}{4} = 2 \end{cases} $

Решим первое уравнение:

$ \log_3(x^2 + 4x + 13) = 2 $

$ x^2 + 4x + 13 = 3^2 $

$ x^2 + 4x + 13 = 9 $

$ x^2 + 4x + 4 = 0 $

$ (x+2)^2 = 0 $

$ x = -2 $

Проверим, выполняется ли второе условие системы при $ x = -2 $.

Второе равенство $ \cos(\pi x) - \sin\frac{\pi x}{4} = 2 $ достигается только при $ \cos(\pi x) = 1 $ и $ \sin\frac{\pi x}{4} = -1 $.

Подставим $ x = -2 $:

$ \cos(\pi(-2)) = \cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1 $.

$ \sin\frac{\pi(-2)}{4} = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $.

Оба условия выполняются. Следовательно, правая часть равна $ 1 - (-1) = 2 $ при $ x = -2 $.

Так как $ x = -2 $ является единственным значением, при котором левая часть достигает своего минимума (2), а правая — своего максимума (2), то это единственное решение уравнения.

Ответ: $ -2 $