Номер 57.2, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§57. Решение неравенств с одной переменной. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 57.2, страница 223.

57.2 Являются ли равносильными неравенства:

а) $sin x + 2 \log_3 x > 20$ и $sin x > 20 - 2 \log_3 x$;

б) $\frac{sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \ge 1$ и $sin x \ge \sqrt{x^2 + 1}$;

в) $13 - 13^{x^2 - 4} \ge 10^x$ и $13 \ge 10^x + 13^{x^2 - 4}$;

г) $10^{4x - 1} \cdot \lg(x^2 - 4) < 0$ и $\lg(x^2 - 4) < 0$?

а) Рассмотрим неравенства $\sin x + 2 \log_3 x > 20$ и $\sin x > 20 - 2 \log_3 x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для обоих неравенств определяется существованием логарифма $\log_3 x$, что требует $x > 0$. Таким образом, ОДЗ у них одинаковая: $x \in (0, +\infty)$.

Второе неравенство получается из первого путем переноса слагаемого $2 \log_3 x$ из левой части в правую с изменением знака. Это равносильное преобразование, которое не изменяет множество решений неравенства.

Поскольку ОДЗ неравенств совпадают и одно получается из другого равносильным преобразованием, они являются равносильными.

Ответ: да, являются равносильными.

б) Рассмотрим неравенства $\frac{\sin x}{\sqrt{x^2 + 1}} \geq 1$ и $\sin x \geq \sqrt{x^2 + 1}$.

ОДЗ первого неравенства: подкоренное выражение $x^2+1$ должно быть неотрицательно, а знаменатель $\sqrt{x^2 + 1}$ не должен быть равен нулю. Поскольку $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \geq 1$, значит, $\sqrt{x^2 + 1} \geq 1$. Таким образом, ОДЗ первого неравенства — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$. ОДЗ второго неравенства также $x \in \mathbb{R}$.

Второе неравенство можно получить из первого, умножив обе его части на выражение $\sqrt{x^2 + 1}$. Так как $\sqrt{x^2 + 1} \geq 1$ для всех $x$, это выражение всегда положительно. Умножение обеих частей неравенства на одно и то же положительное число является равносильным преобразованием, сохраняющим знак неравенства.

Следовательно, данные неравенства равносильны.

Ответ: да, являются равносильными.

в) Рассмотрим неравенства $13 - 13^{x^2-4} \geq 10^x$ и $13 \geq 10^x + 13^{x^2-4}$.

ОДЗ для обоих неравенств — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как показательные функции определены для любого действительного показателя.

Второе неравенство получается из первого путем переноса слагаемого $-13^{x^2-4}$ из левой части в правую с изменением знака на противоположный. Это равносильное преобразование (прибавление к обеим частям неравенства одного и того же выражения $13^{x^2-4}$).

Так как ОДЗ совпадают и преобразование является равносильным, неравенства равносильны.

Ответ: да, являются равносильными.

г) Рассмотрим неравенства $10^{4x-1} \cdot \lg(x^2 - 4) < 0$ и $\lg(x^2 - 4) < 0$.

ОДЗ для обоих неравенств определяется условием существования логарифма: $x^2 - 4 > 0$. Решая это неравенство, получаем $(x-2)(x+2)>0$, откуда $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$. ОДЗ у неравенств одинаковая.

Рассмотрим первое неравенство. Оно представляет собой произведение двух множителей: $10^{4x-1}$ и $\lg(x^2 - 4)$. Множитель $10^{4x-1}$ является показательной функцией с основанием 10, которая принимает только положительные значения при любом действительном $x$. То есть, $10^{4x-1} > 0$.

Поскольку произведение двух множителей отрицательно, и один из множителей ($10^{4x-1}$) всегда положителен, то второй множитель ($\lg(x^2 - 4)$) должен быть отрицательным. Таким образом, неравенство $10^{4x-1} \cdot \lg(x^2 - 4) < 0$ равносильно неравенству $\lg(x^2 - 4) < 0$ на их общей ОДЗ.

Следовательно, данные неравенства равносильны.

Ответ: да, являются равносильными.