Номер 56.41, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.41, страница 223.

56.41 a) $\sqrt{x^2 - 2x + 2} + \log_3 \sqrt{x^3 - 2x + 10} = 2;$

б) $(x - 7)^6 + \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} = 1.$

а) $\sqrt{x^2 - 2x + 2} + \log_3 \sqrt{x^3 - 2x + 10} = 2$

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под первым корнем: $x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$. Так как $(x - 1)^2 \ge 0$, то $(x - 1)^2 + 1 \ge 1$. Это выражение всегда положительно.
Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $\sqrt{x^3 - 2x + 10} > 0$, что равносильно $x^3 - 2x + 10 > 0$.Исследуем функцию $h(x) = x^3 - 2x + 10$. Ее производная $h'(x) = 3x^2 - 2$.Критические точки: $3x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm\sqrt{2/3}$.Локальный минимум функции $h(x)$ достигается в точке $x = \sqrt{2/3}$.Значение в этой точке: $h(\sqrt{2/3}) = (\sqrt{2/3})^3 - 2\sqrt{2/3} + 10 = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} - 2\sqrt{\frac{2}{3}} + 10 = 10 - \frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = 10 - \frac{4\sqrt{6}}{9}$.Так как $10 > \frac{4\sqrt{6}}{9}$ (поскольку $90 > 4\sqrt{6} \iff 8100 > 96$), то $h(\sqrt{2/3}) > 0$.Поскольку локальный минимум функции положителен, $h(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.Следовательно, ОДЗ уравнения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим левую часть уравнения как сумму двух функций: $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 2}$ и $g(x) = \log_3 \sqrt{x^3 - 2x + 10}$.Проанализируем функцию $f(x) = \sqrt{(x - 1)^2 + 1}$.Минимальное значение подкоренного выражения равно 1 и достигается при $x=1$.Следовательно, $f(x) \ge \sqrt{1} = 1$. Равенство $f(x)=1$ выполняется только при $x=1$.

Проанализируем функцию $g(x)$. Рассмотрим, при каких значениях $x$ выполняется условие $g(x) \ge 1$.$ \log_3 \sqrt{x^3 - 2x + 10} \ge 1 $
$ \sqrt{x^3 - 2x + 10} \ge 3^1 $
$ x^3 - 2x + 10 \ge 9 $
$ x^3 - 2x + 1 \ge 0 $
Разложим многочлен $x^3 - 2x + 1$ на множители. Заметим, что $x=1$ является корнем: $1^3 - 2(1) + 1 = 0$.$ (x-1)(x^2+x-1) \ge 0 $
Корни уравнения $x^2+x-1=0$ равны $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.Таким образом, неравенство $g(x) \ge 1$ выполняется для $x \in \left[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right] \cup [1, \infty)$.

На множестве $x \in \left[\frac{-1-\sqrt{5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right] \cup [1, \infty)$ мы имеем $f(x) \ge 1$ и $g(x) \ge 1$.Следовательно, на этом множестве их сумма $f(x) + g(x) \ge 1 + 1 = 2$.Равенство $f(x) + g(x) = 2$ возможно только в том случае, если одновременно $f(x)=1$ и $g(x)=1$.Условие $f(x)=1$ выполняется только при $x=1$.Условие $g(x)=1$ выполняется при $x=1$, $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ и $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=1$.Проверим: $\sqrt{1^2 - 2(1) + 2} + \log_3 \sqrt{1^3 - 2(1) + 10} = \sqrt{1} + \log_3\sqrt{9} = 1 + \log_3 3 = 1+1=2$.Таким образом, $x=1$ является решением уравнения.

Ответ: $1$

---

б) $(x - 7)^6 + \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} = 1$

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным: $\sqrt{x^2 - 14x + 74} > 0$, что равносильно $x^2 - 14x + 74 > 0$.Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - 14x + 74$. Его дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 74 = 196 - 296 = -100$.Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, квадратный трехчлен всегда положителен.Следовательно, ОДЗ уравнения — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Рассмотрим левую часть уравнения как сумму двух функций: $f(x) = (x-7)^6$ и $g(x) = \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74}$.Проанализируем каждое слагаемое.

1. Функция $f(x) = (x-7)^6$. Поскольку показатель степени четный, $f(x) \ge 0$ для любого $x$. Минимальное значение $f(x)=0$ достигается при $x=7$.

2. Функция $g(x) = \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74}$. Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:$x^2 - 14x + 74 = (x^2 - 14x + 49) + 25 = (x-7)^2 + 25$.Таким образом, $g(x) = \log_5 \sqrt{(x-7)^2 + 25}$.Выражение под корнем $(x-7)^2 + 25$ имеет минимальное значение 25, которое достигается при $x=7$.Соответственно, выражение $\sqrt{(x-7)^2 + 25}$ имеет минимальное значение $\sqrt{25}=5$.Функция логарифма с основанием 5 является возрастающей, поэтому $g(x)$ достигает своего минимального значения тогда же, когда и ее аргумент.Минимальное значение $g(x)$ равно $\log_5 5 = 1$ и достигается при $x=7$.Итак, $g(x) \ge 1$ для любого $x$.

Сложим оценки для обеих функций:$f(x) + g(x) = (x-7)^6 + \log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} \ge 0 + 1 = 1$.Левая часть уравнения всегда больше или равна 1. Равенство достигается только в том случае, когда оба слагаемых одновременно принимают свои минимальные значения:$(x-7)^6 = 0$ и $\log_5 \sqrt{x^2 - 14x + 74} = 1$.Оба эти условия выполняются при $x=7$.

Ответ: $7$