Номер 56.37, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.37, страница 222.

56.37 a) $\sin x \cos x - 6 \sin x + 6 \cos x + 6 = 0$;

б) $5 \sin 2x - 11 \sin x = 11 \cos x - 7$.

а) $ \sin x \cos x - 6\sin x + 6\cos x + 6 = 0 $

Сгруппируем слагаемые в уравнении:

$ \sin x \cos x + 6(\cos x - \sin x) + 6 = 0 $

Введем замену переменной. Пусть $ t = \cos x - \sin x $.

Чтобы выразить $ \sin x \cos x $ через $ t $, возведем обе части замены в квадрат:

$ t^2 = (\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, получаем:

$ t^2 = 1 - 2\sin x \cos x $

Отсюда выражаем $ \sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos x = 1 - t^2 \implies \sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2} $

Подставим выражения для $ \cos x - \sin x $ и $ \sin x \cos x $ в исходное уравнение:

$ \frac{1 - t^2}{2} + 6t + 6 = 0 $

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

$ 1 - t^2 + 12t + 12 = 0 $

$ -t^2 + 12t + 13 = 0 $

$ t^2 - 12t - 13 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение относительно $ t $. Найдем дискриминант: $ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196 = 14^2 $.

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{12 - 14}{2} = -1 $

$ t_2 = \frac{12 + 14}{2} = 13 $

Вернемся к исходной переменной $ x $.

1) $ \cos x - \sin x = 13 $.

Наибольшее значение выражения $ a\cos x + b\sin x $ равно $ \sqrt{a^2 + b^2} $. В нашем случае $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $. Поскольку $ 13 > \sqrt{2} $, это уравнение не имеет решений.

2) $ \cos x - \sin x = -1 $.

Умножим обе части на -1:

$ \sin x - \cos x = 1 $.

Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. Умножим и разделим на $ \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $:

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = 1 $

Поскольку $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $, уравнение принимает вид:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Применяя формулу синуса разности, получаем:

$ \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решения этого уравнения имеют вид:

$ x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $

$ x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n $.

Рассмотрим два случая для $ n $:

Если $ n $ — четное число, $ n = 2k $, где $ k \in \mathbb{Z} $:

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $.

Если $ n $ — нечетное число, $ n = 2k+1 $, где $ k \in \mathbb{Z} $:

$ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2k+1) = \pi + 2\pi k $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) $ 5\sin 2x - 11\sin x = 11\cos x - 7 $

Перенесем все члены в левую часть и используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ 5(2\sin x \cos x) - 11\sin x - 11\cos x + 7 = 0 $

$ 10\sin x \cos x - 11(\sin x + \cos x) + 7 = 0 $

Введем замену переменной. Пусть $ t = \sin x + \cos x $.

Возведем обе части замены в квадрат:

$ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x $

$ t^2 = 1 + 2\sin x \cos x $

Отсюда $ \sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2} $.

Подставим выражения для $ \sin x + \cos x $ и $ \sin x \cos x $ в уравнение:

$ 10\left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) - 11t + 7 = 0 $

$ 5(t^2 - 1) - 11t + 7 = 0 $

$ 5t^2 - 5 - 11t + 7 = 0 $

$ 5t^2 - 11t + 2 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $ D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2 $.

Корни уравнения:

$ t_1 = \frac{11 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $

$ t_2 = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2 $

Вернемся к исходной переменной $ x $.

1) $ \sin x + \cos x = 2 $.

Наибольшее значение выражения $ \sin x + \cos x $ равно $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $. Поскольку $ 2 > \sqrt{2} $, это уравнение не имеет решений.

2) $ \sin x + \cos x = \frac{1}{5} $.

Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла. Умножим и разделим на $ \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $:

$ \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \frac{1}{5} $

Поскольку $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $, уравнение принимает вид:

$ \sin x \cos(\frac{\pi}{4}) + \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{5\sqrt{2}} $

Применяя формулу синуса суммы, получаем:

$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} $

Решения этого уравнения имеют вид:

$ x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right) + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.