Номер 56.33, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.33, страница 222.

56.33 a) $\sin^2 x + \cos^2 2x = 1;$

б) $\cos^2 3x - \sin^2 3x - \cos 4x = 0.$

а)

Дано уравнение $ \sin^2 x + \cos^2 2x = 1 $.
Перенесем $ \sin^2 x $ в правую часть уравнения: $ \cos^2 2x = 1 - \sin^2 x $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $, заменим правую часть: $ \cos^2 2x = \cos^2 x $
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $ \cos 2x = \cos x $ и $ \cos 2x = -\cos x $.
Также можно перенести $ \cos^2 x $ в левую часть и применить формулу разности квадратов: $ \cos^2 2x - \cos^2 x = 0 $
$ (\cos 2x - \cos x)(\cos 2x + \cos x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

1) $ \cos 2x - \cos x = 0 \implies \cos 2x = \cos x $.
Решения этого уравнения имеют вид $ 2x = \pm x + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.
- $ 2x = x + 2\pi k \implies x = 2\pi k $
- $ 2x = -x + 2\pi k \implies 3x = 2\pi k \implies x = \frac{2\pi k}{3} $
Решения $ x = 2\pi k $ являются частью серии $ x = \frac{2\pi k}{3} $ (при $ k $, кратном 3), поэтому общим решением для этого случая является $ x = \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos 2x + \cos x = 0 \implies \cos 2x = -\cos x $.
Используя формулу приведения $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha $, получаем $ \cos 2x = \cos(\pi - x) $.
Решения этого уравнения имеют вид $ 2x = \pm (\pi - x) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.
- $ 2x = \pi - x + 2\pi n \implies 3x = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} $
- $ 2x = -(\pi - x) + 2\pi n \implies 2x = x - \pi + 2\pi n \implies x = -\pi + 2\pi n $, что эквивалентно $ x = \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Объединим все полученные серии решений:
- $ x = \frac{2\pi k}{3} $ (дает точки $0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, ...$)
- $ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} $ (дает точки $\frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}, ...$)
Серия $ x = \pi + 2\pi m $ является частью второй серии (при $n=1, 4, ...$).
Вместе эти решения образуют множество всех точек, кратных $ \frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

б)

Дано уравнение $ \cos^2 3x - \sin^2 3x - \cos 4x = 0 $.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha $. Для $ \alpha = 3x $ выражение $ \cos^2 3x - \sin^2 3x $ равно $ \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x) $.
Уравнение принимает вид: $ \cos(6x) - \cos 4x = 0 $
$ \cos(6x) = \cos 4x $
Для решения этого уравнения можно использовать формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $: $ -2\sin\frac{6x+4x}{2}\sin\frac{6x-4x}{2} = 0 $
$ -2\sin(5x)\sin(x) = 0 $
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $ \sin(x) = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin(5x) = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.

Сравним полученные серии решений. Первая серия $ x = \pi k $ является подмножеством второй серии $ x = \frac{\pi n}{5} $. Это происходит, когда $n$ кратно 5 (т.е. $n = 5k$).
Таким образом, все решения уравнения описываются более общей второй формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z} $.