Номер 56.27, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.27, страница 222.

56.27 а) $\sqrt{2x^2 - 11x + 6} = 2x - 9;$

б) $\sqrt{x^2 + 2x - 8} = 2x - 4.$

а) $\sqrt{2x^2 - 11x + 6} = 2x - 9$

Решение иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно решению системы, включающей условие неотрицательности правой части и уравнение, полученное возведением в квадрат обеих частей исходного уравнения.

$\begin{cases} 2x - 9 \ge 0 \\ 2x^2 - 11x + 6 = (2x - 9)^2 \end{cases}$

1. Решим неравенство, чтобы найти область допустимых значений:

$2x - 9 \ge 0$

$2x \ge 9$

$x \ge 4.5$

2. Решим уравнение. Возведем обе части в квадрат и упростим:

$2x^2 - 11x + 6 = 4x^2 - 36x + 81$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$4x^2 - 2x^2 - 36x + 11x + 81 - 6 = 0$

$2x^2 - 25x + 75 = 0$

3. Найдем корни полученного квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 75 = 625 - 600 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = 7.5$

4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 4.5$:

Корень $x_1 = 5$: $5 \ge 4.5$. Условие выполняется, корень подходит.

Корень $x_2 = 7.5$: $7.5 \ge 4.5$. Условие выполняется, корень подходит.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: 5; 7.5.

б) $\sqrt{x^2 + 2x - 8} = 2x - 4$

Данное уравнение равносильно следующей системе:

$\begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ x^2 + 2x - 8 = (2x - 4)^2 \end{cases}$

1. Решим неравенство:

$2x - 4 \ge 0$

$2x \ge 4$

$x \ge 2$

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^2 + 2x - 8 = (2x - 4)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$x^2 + 2x - 8 = 4x^2 - 16x + 16$

Перенесем все члены в одну сторону:

$4x^2 - x^2 - 16x - 2x + 16 + 8 = 0$

$3x^2 - 18x + 24 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 3:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

3. Найдем корни полученного квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = 6$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 8$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 2$:

Корень $x_1 = 2$: $2 \ge 2$. Условие выполняется, корень подходит.

Корень $x_2 = 4$: $4 \ge 2$. Условие выполняется, корень подходит.

Оба корня являются решениями.

Ответ: 2; 4.