Номер 56.22, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.22, страница 221.

56.22 а) $2^x = 6 - x;$

б) $(\frac{1}{3})^x = x + 4.$

а) Решим уравнение $2^x = 6 - x$.
Данный тип уравнений, где переменная находится и в показателе степени, и в основании, как правило, решается графическим методом или методом оценки монотонности функций.
Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:
$y_1 = 2^x$ — показательная функция.
$y_2 = 6 - x$ — линейная функция.
Проанализируем их поведение:
1. Функция $y_1 = 2^x$ является монотонно возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как ее основание $2 > 1$.
2. Функция $y_2 = 6 - x$ является монотонно убывающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как ее угловой коэффициент равен $-1$.
Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение имеет не более одного корня.
Найдем этот корень методом подбора. Попробуем подставить целые значения $x$.
При $x = 2$:
Левая часть: $2^2 = 4$.
Правая часть: $6 - 2 = 4$.
Поскольку левая часть равна правой ($4 = 4$), то $x = 2$ является корнем уравнения.
Так как корень может быть только один, то это и есть решение.
Ответ: $2$.

б) Решим уравнение $(\frac{1}{3})^x = x + 4$.
Аналогично предыдущему пункту, используем метод анализа функций.
Рассмотрим две функции:
$y_1 = (\frac{1}{3})^x$ — показательная функция.
$y_2 = x + 4$ — линейная функция.
Проанализируем их поведение:
1. Функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ является монотонно убывающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как ее основание $0 < \frac{1}{3} < 1$.
2. Функция $y_2 = x + 4$ является монотонно возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как ее угловой коэффициент равен $1$.
Так как одна функция убывает, а другая возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень методом подбора.
При $x = -1$:
Левая часть: $(\frac{1}{3})^{-1} = 3^1 = 3$.
Правая часть: $-1 + 4 = 3$.
Поскольку левая часть равна правой ($3 = 3$), то $x = -1$ является корнем уравнения.
Поскольку мы доказали, что корень единственный, то $x = -1$ и является решением.
Ответ: $-1$.