Номер 56.24, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.24, страница 222.

56.24 а) $1 - \sqrt{x} = \ln x;$

б) $\sqrt{x} - 2 = \frac{9}{x}.$

а)

Дано уравнение $1 - \sqrt{x} = \ln x$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а аргумент логарифма — строго положительным ($x > 0$). Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $x > 0$.

Этот тип уравнений, где переменная находится и под знаком корня, и под знаком логарифма, обычно решается графически или с помощью анализа свойств функций. Рассмотрим две функции: $f(x) = 1 - \sqrt{x}$ и $g(x) = \ln x$. Решение уравнения — это точка пересечения их графиков.

Исследуем монотонность этих функций на области $x > 0$.
1. Для функции $f(x) = 1 - \sqrt{x}$ найдем производную: $f'(x) = (1 - x^{1/2})' = -\frac{1}{2}x^{-1/2} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Поскольку на всей ОДЗ ($x > 0$) знаменатель $2\sqrt{x}$ положителен, производная $f'(x)$ всегда отрицательна. Следовательно, функция $f(x)$ является строго убывающей на интервале $(0; +\infty)$.
2. Для функции $g(x) = \ln x$ найдем производную: $g'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$. На ОДЗ ($x > 0$) производная $g'(x)$ всегда положительна. Следовательно, функция $g(x)$ является строго возрастающей на интервале $(0; +\infty)$.

Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение имеет не более одного корня.

Попробуем найти этот корень методом подбора. Проверим значение $x = 1$:
Левая часть: $1 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0$.
Правая часть: $\ln 1 = 0$.
Поскольку левая и правая части равны ($0 = 0$), $x = 1$ является корнем уравнения.

Так как мы доказали, что уравнение не может иметь более одного корня, то $x = 1$ — это единственное решение.

Ответ: $x = 1$.

б)

Дано уравнение $\sqrt{x} - 2 = \frac{9}{x}$.

Определим ОДЗ. Из-за наличия квадратного корня $x \ge 0$. Из-за наличия $x$ в знаменателе $x \neq 0$. Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Для решения уравнения введем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x}$. Поскольку $x > 0$, то и $y > 0$. Из замены следует, что $x = y^2$. Подставим это в исходное уравнение:

$y - 2 = \frac{9}{y^2}$

Так как $y > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $y^2$:

$y^2(y - 2) = 9$

$y^3 - 2y^2 = 9$

$y^3 - 2y^2 - 9 = 0$

Получилось кубическое уравнение. Его целые корни, если они есть, являются делителями свободного члена (-9). Возможные корни: $\pm1, \pm3, \pm9$. Так как $y>0$, проверяем только положительные делители.

Проверим $y = 1$: $1^3 - 2(1)^2 - 9 = 1 - 2 - 9 = -10 \neq 0$.
Проверим $y = 3$: $3^3 - 2(3)^2 - 9 = 27 - 2 \cdot 9 - 9 = 27 - 18 - 9 = 0$.
Значит, $y = 3$ является корнем уравнения.

Теперь разделим многочлен $y^3 - 2y^2 - 9$ на $(y - 3)$, чтобы найти остальные корни. Используя деление столбиком или схему Горнера, получаем:

$(y - 3)(y^2 + y + 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:
1) $y - 3 = 0 \implies y = 3$. Этот корень удовлетворяет условию $y > 0$.
2) $y^2 + y + 3 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11$. Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Таким образом, единственное действительное решение для $y$ — это $y = 3$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = y = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 3^2 = 9$

Корень $x = 9$ принадлежит ОДЗ ($x > 0$). Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{9} - 2 = \frac{9}{9}$

$3 - 2 = 1$

$1 = 1$

Равенство верное, следовательно, корень найден правильно.

Ответ: $x = 9$.