Номер 56.23, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.23, страница 222.

56.23 a) $ (x - 1)^2 = \log_2 x; $

б) $ \log_{\frac{1}{2}} x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2. $

а) $(x - 1)^2 = \log_2 x$

Для решения этого уравнения рассмотрим две функции: $y_1(x) = (x-1)^2$ и $y_2(x) = \log_2 x$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения их графиков.Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Логарифмическая функция $\log_2 x$ определена только для $x > 0$, поэтому ОДЗ: $x \in (0, \infty)$.Проанализируем поведение функций. Функция $y_1(x) = (x-1)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 0)$, ветви которой направлены вверх. Функция $y_2(x) = \log_2 x$ — это логарифмическая функция, которая монотонно возрастает на всей своей области определения.Найдем решения методом подбора, проверяя значения $x$, которые являются степенью двойки или близки к вершине параболы.При $x=1$: левая часть $(1-1)^2 = 0$, правая часть $\log_2 1 = 0$. Так как $0=0$, $x=1$ является корнем.При $x=2$: левая часть $(2-1)^2 = 1$, правая часть $\log_2 2 = 1$. Так как $1=1$, $x=2$ также является корнем.Докажем отсутствие других корней.На интервале $(0, 1)$ левая часть $(x-1)^2$ положительна, а правая часть $\log_2 x$ отрицательна, поэтому равенство невозможно.Рассмотрим поведение функций на интервале $(1, \infty)$. Функция $y_1(x)=(x-1)^2$ является выпуклой вниз (ее вторая производная равна $2 > 0$). Функция $y_2(x)=\log_2 x$ является выпуклой вверх (ее вторая производная равна $-\frac{1}{x^2 \ln 2} < 0$). График выпуклой вниз функции и график выпуклой вверх функции могут пересекаться не более двух раз. Мы уже нашли две точки пересечения, соответствующие корням $x=1$ и $x=2$. Следовательно, других корней нет.

Ответ: $1; 2$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2$

Рассмотрим функции $y_1(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y_2(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2$. Решения — это абсциссы точек их пересечения.ОДЗ уравнения определяется условием существования логарифма: $x>0$.Проанализируем монотонность функций на ОДЗ ($x>0$).Функция $y_1(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ является монотонно убывающей, так как ее основание $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$.Функция $y_2(x) = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2$ на интервале $(0, \infty)$ является монотонно возрастающей (это правая ветвь параболы с вершиной в точке $x = -1/2$).Монотонно возрастающая и монотонно убывающая функции могут пересечься не более одного раза.Найдем этот корень подбором. Проверим $x = \frac{1}{2}$.Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right) = 1$.Правая часть: $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)^2 = 1^2 = 1$.Так как $1=1$, то $x = \frac{1}{2}$ является корнем уравнения.Поскольку мы установили, что корень может быть только один, и мы его нашли, то других решений у уравнения нет.

Ответ: $\frac{1}{2}$.