Номер 56.30, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.30, страница 222.

56.30 a) $ \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2} $;

б) $ \sqrt{2x+1} - \sqrt{x-1} = \sqrt{3} $.

а) $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} = \sqrt{2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1$

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

2. Решим уравнение.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1})^2 = (\sqrt{2})^2$

$(\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x-1} + (\sqrt{x-1})^2 = 2$

$(x + 1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x - 1) = 2$

Приведем подобные слагаемые:

$2x + 2\sqrt{x^2 - 1} = 2$

Разделим обе части на 2:

$x + \sqrt{x^2 - 1} = 1$

Уединим корень:

$\sqrt{x^2 - 1} = 1 - x$

3. Проанализируем полученное уравнение.

Левая часть уравнения $\sqrt{x^2 - 1}$ по определению арифметического корня неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:

$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$

Учитывая ОДЗ ($x \ge 1$) и полученное условие ($x \le 1$), единственным возможным решением является $x = 1$.

4. Выполним проверку.

Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$\sqrt{1 + 1} + \sqrt{1 - 1} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2} + \sqrt{0} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2} = \sqrt{2}$

Равенство верное, значит, $x=1$ является корнем уравнения.

Ответ: $1$.

б) $\sqrt{2x + 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{3}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$2x + 1 \ge 0 \implies x \ge -0.5$

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

2. Решим уравнение.

Перенесем один из корней в правую часть, чтобы упростить возведение в квадрат:

$\sqrt{2x + 1} = \sqrt{3} + \sqrt{x - 1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x + 1})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{x - 1})^2$

$2x + 1 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{x-1} + (\sqrt{x-1})^2$

$2x + 1 = 3 + 2\sqrt{3(x - 1)} + (x - 1)$

$2x + 1 = x + 2 + 2\sqrt{3x - 3}$

Уединим оставшийся корень:

$2x - x + 1 - 2 = 2\sqrt{3x - 3}$

$x - 1 = 2\sqrt{3x - 3}$

3. Возведем в квадрат еще раз.

Для того чтобы можно было возвести в квадрат, обе части должны быть неотрицательны. Правая часть $2\sqrt{3x - 3}$ неотрицательна. Значит, левая часть тоже должна быть неотрицательной: $x - 1 \ge 0$, что соответствует нашему ОДЗ ($x \ge 1$).

$(x - 1)^2 = (2\sqrt{3x - 3})^2$

$x^2 - 2x + 1 = 4(3x - 3)$

$x^2 - 2x + 1 = 12x - 12$

Перенесем все члены в левую часть и получим квадратное уравнение:

$x^2 - 14x + 13 = 0$

4. Решим квадратное уравнение.

По теореме Виета, сумма корней равна 14, а произведение равно 13. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = 13$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 1$).

5. Выполним проверку.

Проверим корень $x_1 = 1$:

$\sqrt{2(1) + 1} - \sqrt{1 - 1} = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} - \sqrt{0} = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Корень $x_1 = 1$ подходит.

Проверим корень $x_2 = 13$:

$\sqrt{2(13) + 1} - \sqrt{13 - 1} = \sqrt{3}$

$\sqrt{27} - \sqrt{12} = \sqrt{3}$

$\sqrt{9 \cdot 3} - \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{3}$

$3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$

$\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Корень $x_2 = 13$ также подходит.

Ответ: $1; 13$.