Номер 56.26, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.26, страница 222.

56.26 a) $\sqrt{6x^2 - 3} = \sqrt{5x - 2};$

б) $\sqrt{3x^2 - 5x} = \sqrt{x^2 + 2x - 5}.$

а) Исходное уравнение: $\sqrt{6x^2 - 3} = \sqrt{5x - 2}$.
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренные выражения приравниваются, и одно из них (любое, но обычно выбирают более простое) должно быть неотрицательным. Это гарантирует, что и второе выражение будет неотрицательным, так как они равны.
Составим равносильную систему:
$\begin{cases} 6x^2 - 3 = 5x - 2 \\ 5x - 2 \ge 0 \end{cases}$
Сначала решим уравнение:
$6x^2 - 3 = 5x - 2$
$6x^2 - 5x - 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 7}{2 \cdot 6} = \frac{12}{12} = 1$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 7}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $5x - 2 \ge 0$.
Проверка для $x_1 = 1$:
$5(1) - 2 = 3$. Так как $3 \ge 0$, условие выполняется. Значит, $x=1$ является корнем исходного уравнения.
Проверка для $x_2 = -\frac{1}{6}$:
$5(-\frac{1}{6}) - 2 = -\frac{5}{6} - 2 = -\frac{17}{6}$. Так как $-\frac{17}{6} < 0$, условие не выполняется. Значит, $x = -\frac{1}{6}$ является посторонним корнем.
Ответ: $1$.

б) Исходное уравнение: $\sqrt{3x^2 - 5x} = \sqrt{x^2 + 2x - 5}$.
Аналогично предыдущему пункту, данное уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 3x^2 - 5x = x^2 + 2x - 5 \\ x^2 + 2x - 5 \ge 0 \end{cases}$
(В качестве условия можно было выбрать и $3x^2 - 5x \ge 0$, результат был бы тем же).
Решим уравнение из системы:
$3x^2 - 5x - x^2 - 2x + 5 = 0$
$2x^2 - 7x + 5 = 0$
Найдем корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9 = 3^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2.5$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.
Теперь выполним проверку найденных корней, подставив их в неравенство $x^2 + 2x - 5 \ge 0$.
Проверка для $x_1 = 2.5$:
$(2.5)^2 + 2(2.5) - 5 = 6.25 + 5 - 5 = 6.25$. Так как $6.25 \ge 0$, условие выполняется. Значит, $x=2.5$ является корнем исходного уравнения.
Проверка для $x_2 = 1$:
$1^2 + 2(1) - 5 = 1 + 2 - 5 = -2$. Так как $-2 < 0$, условие не выполняется. Значит, $x=1$ является посторонним корнем.
Ответ: $2.5$.