Номер 56.20, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.20, страница 221.

56.20 a) $lg^2 x^2 + lg 10x - 6 = 0;$

б) $3^x + 3^{-x+1} = 4;$

В) $2 \cos^2 x - 7 \cos x - 4 = 0;$

Г) $5^{2\sqrt{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\sqrt{x}+1}.$

а) Исходное уравнение: $lg^2 x^2 + lg(10x) - 6 = 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$x^2 > 0 \implies x \neq 0$
$10x > 0 \implies x > 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:
$lg^2 x^2 = (lg(x^2))^2 = (2 \cdot lg|x|)^2$. Так как по ОДЗ $x > 0$, то $|x| = x$, и выражение становится $(2 \cdot lg(x))^2 = 4lg^2x$.
$lg(10x) = lg(10) + lg(x) = 1 + lg(x)$.
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$4lg^2x + (1 + lg(x)) - 6 = 0$
$4lg^2x + lg(x) - 5 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = lg(x)$. Уравнение принимает вид:
$4t^2 + t - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
$t_1 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
$t_2 = \frac{-1 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}$
Вернемся к исходной переменной:
1) $lg(x) = 1 \implies x = 10^1 = 10$.
2) $lg(x) = -\frac{5}{4} \implies x = 10^{-5/4}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $10; 10^{-5/4}$.

б) Исходное уравнение: $3^x + 3^{-x+1} = 4$.
Преобразуем второе слагаемое, используя свойства степеней: $3^{-x+1} = 3^{-x} \cdot 3^1 = \frac{3}{3^x}$.
Подставим в уравнение:
$3^x + \frac{3}{3^x} = 4$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
$t + \frac{3}{t} = 4$
Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):
$t^2 + 3 = 4t$
$t^2 - 4t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$. Оба корня положительны и подходят по условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной:
1) $3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x = 0$.
2) $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.
Ответ: $0; 1$.

в) Исходное уравнение: $2\cos^2x - 7\cos x - 4 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1, 1]$, имеем ограничение $-1 \le t \le 1$.
$2t^2 - 7t - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
$t_1 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$.
$t_2 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Проверим корни с учетом ограничения $-1 \le t \le 1$:
$t_1 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 1$.
$t_2 = -\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию.
Вернемся к исходной переменной:
$\cos x = -\frac{1}{2}$
Общее решение для этого уравнения: $x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in Z$.
$\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.
Следовательно, $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.
Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$.

г) Исходное уравнение: $5^{2\sqrt{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\sqrt{x}+1}$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.
Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:
$5^{2\sqrt{x}} = (5^{\sqrt{x}})^2$
$5^{\sqrt{x}+1} = 5^{\sqrt{x}} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{\sqrt{x}}$
Подставим в уравнение:
$(5^{\sqrt{x}})^2 + 125 = 6 \cdot 5 \cdot 5^{\sqrt{x}}$
$(5^{\sqrt{x}})^2 - 30 \cdot 5^{\sqrt{x}} + 125 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^{\sqrt{x}}$. Так как $x \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$, и $t = 5^{\sqrt{x}} \ge 5^0 = 1$. Итак, $t \ge 1$.
$t^2 - 30t + 125 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = 25$.
Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 1$.
Вернемся к исходной переменной:
1) $5^{\sqrt{x}} = 5 \implies 5^{\sqrt{x}} = 5^1 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.
2) $5^{\sqrt{x}} = 25 \implies 5^{\sqrt{x}} = 5^2 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).
Ответ: $1; 4$.