Номер 56.13, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.13, страница 220.

56.13 a) $2x^2 \sin x - 8 \sin x + 4 = x^2;$

б) $2x^2 \cos x + 9 = 18 \cos x + x^2.$

a) $2x^2 \sin x - 8 \sin x + 4 = x^2$

Перенесем члены уравнения так, чтобы сгруппировать слагаемые с $\sin x$ и без него:

$2x^2 \sin x - 8 \sin x = x^2 - 4$

Вынесем за скобки общие множители в левой и правой частях:

$2(x^2 - 4) \sin x = (x^2 - 4)$

Перенесем все в левую часть:

$2(x^2 - 4) \sin x - (x^2 - 4) = 0$

$(x^2 - 4)(2 \sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

2) $2 \sin x - 1 = 0$

$2 \sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \pm 2$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

---

б) $2x^2 \cos x + 9 = 18 \cos x + x^2$

Сгруппируем члены уравнения, содержащие $\cos x$, и остальные члены:

$2x^2 \cos x - 18 \cos x = x^2 - 9$

Вынесем за скобки общие множители:

$2(x^2 - 9) \cos x = (x^2 - 9)$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(x^2 - 9)$:

$2(x^2 - 9) \cos x - (x^2 - 9) = 0$

$(x^2 - 9)(2 \cos x - 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 9 = 0$

$x^2 = 9$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

2) $2 \cos x - 1 = 0$

$2 \cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Решения этого тригонометрического уравнения имеют вид:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединив все найденные корни, получаем окончательное решение.

Ответ: $x = \pm 3$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.