Номер 56.11, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.11, страница 220.

56.11 a) $\sqrt{x^5} - 3\sqrt{x^3} - 18\sqrt{x} = 0;$

б) $\sqrt[4]{x^9} - 2\sqrt[4]{x^5} - 15\sqrt[4]{x} = 0.$

а) $\sqrt{x^5} - 3\sqrt{x^3} - 18\sqrt{x} = 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как мы имеем дело с квадратными корнями, выражения под корнями должны быть неотрицательными. Условия $x^5 \ge 0$, $x^3 \ge 0$ и $x \ge 0$ выполняются одновременно при $x \ge 0$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойство корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a, b \ge 0$):

$\sqrt{x^5} = \sqrt{x^4 \cdot x} = \sqrt{(x^2)^2} \cdot \sqrt{x} = x^2\sqrt{x}$

$\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} = x\sqrt{x}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$x^2\sqrt{x} - 3x\sqrt{x} - 18\sqrt{x} = 0$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:

$\sqrt{x}(x^2 - 3x - 18) = 0$

4. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $\sqrt{x} = 0$

2) $x^2 - 3x - 18 = 0$

5. Решим каждое уравнение.

Из первого уравнения $\sqrt{x} = 0$ получаем $x_1 = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($0 \ge 0$).

Решим второе, квадратное уравнение $x^2 - 3x - 18 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_3 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

6. Проверим найденные корни $x_2$ и $x_3$ на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge 0$.

Корень $x_3 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$, и является посторонним корнем.

Следовательно, решениями уравнения являются $x=0$ и $x=6$.

Ответ: $0; 6$.

б) $\sqrt[4]{x^9} - 2\sqrt[4]{x^5} - 15\sqrt[4]{x} = 0$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Корень четвертой степени (четной) требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Условия $x^9 \ge 0$, $x^5 \ge 0$ и $x \ge 0$ выполняются одновременно при $x \ge 0$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (для $a, b \ge 0$):

$\sqrt[4]{x^9} = \sqrt[4]{x^8 \cdot x} = \sqrt[4]{(x^2)^4} \cdot \sqrt[4]{x} = x^2\sqrt[4]{x}$

$\sqrt[4]{x^5} = \sqrt[4]{x^4 \cdot x} = \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{x} = x\sqrt[4]{x}$

Подставим преобразования в исходное уравнение:

$x^2\sqrt[4]{x} - 2x\sqrt[4]{x} - 15\sqrt[4]{x} = 0$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt[4]{x}$ за скобки:

$\sqrt[4]{x}(x^2 - 2x - 15) = 0$

4. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $\sqrt[4]{x} = 0$

2) $x^2 - 2x - 15 = 0$

5. Решим каждое уравнение.

Из первого уравнения $\sqrt[4]{x} = 0$ получаем $x_1 = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Решим второе, квадратное уравнение $x^2 - 2x - 15 = 0$. Можно использовать теорему Виета:

Сумма корней $x_2 + x_3 = 2$, произведение корней $x_2 \cdot x_3 = -15$.

Подбором находим корни $x_2 = 5$ и $x_3 = -3$.

Либо через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 8}{2}$

$x_2 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_3 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

6. Проверим найденные корни $x_2$ и $x_3$ на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 \ge 0$.

Корень $x_3 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < 0$, и является посторонним корнем.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=0$ и $x=5$.

Ответ: $0; 5$.