Номер 56.12, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.12, страница 220.

56.12 a) $2^x \cdot x - 4x - 4 + 2^x = 0;$

б) $3^x \cdot x - 3^{x+1} + 27 = 9x.$

a) $2^x \cdot x - 4x - 4 + 2^x = 0$

Для решения данного уравнения применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(2^x \cdot x + 2^x) + (-4x - 4) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$2^x(x + 1) - 4(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(2^x - 4)(x + 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, мы получаем два независимых уравнения:

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2) $2^x - 4 = 0 \implies 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x_2 = 2$

Ответ: $-1; 2$

б) $3^x \cdot x - 3^{x+1} + 27 = 9x$

Сначала перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$3^x \cdot x - 3^{x+1} - 9x + 27 = 0$

Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем слагаемое $3^{x+1}$ в $3 \cdot 3^x$.

$3^x \cdot x - 3 \cdot 3^x - 9x + 27 = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(3^x \cdot x - 9x) + (-3 \cdot 3^x + 27) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$x(3^x - 9) - 3(3^x - 9) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(3^x - 9)$ за скобки:

$(x - 3)(3^x - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это дает нам два уравнения:

1) $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$

2) $3^x - 9 = 0 \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x_2 = 2$

Ответ: $2; 3$