Номер 56.14, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.14, страница 221.

56.14 а) $\sin 2x = \sin x;$

б) $\cos^2(\pi - x) + \sin 2x = 0;$

в) $\sqrt{3} \cos 3x = \sin 6x;$

г) $\sin^2\left(\pi + \frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}\sin x = 0.$

а) Исходное уравнение: $sin 2x = sin x$.
Применим формулу синуса двойного угла $sin 2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$:
$2sin x cos x = sin x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$2sin x cos x - sin x = 0$
Вынесем общий множитель $sin x$ за скобки:
$sin x (2cos x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:
1) $sin x = 0$
Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2cos x - 1 = 0$
$2cos x = 1$
$cos x = \frac{1}{2}$
Решением этого уравнения является серия корней: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $cos^2(\pi - x) + sin 2x = 0$.
Используем формулу приведения $cos(\pi - \alpha) = -cos\alpha$. Тогда $cos^2(\pi - x) = (-cos x)^2 = cos^2 x$.
Также применим формулу синуса двойного угла $sin 2x = 2sin x cos x$.
Уравнение принимает вид:
$cos^2 x + 2sin x cos x = 0$
Вынесем общий множитель $cos x$ за скобки:
$cos x (cos x + 2sin x) = 0$
Получаем два уравнения:
1) $cos x = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $cos x + 2sin x = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение. Если предположить, что $cos x = 0$, то из уравнения следует, что $2sin x = 0$, то есть $sin x = 0$. Но $sin x$ и $cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, поэтому $cos x \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $cos x$:
$1 + 2\frac{sin x}{cos x} = 0$
$1 + 2tan x = 0$
$tan x = -\frac{1}{2}$
$x = arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n = -\arctan\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan\frac{1}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{3} cos 3x = sin 6x$.
Применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin\alpha cos\alpha$ для $sin 6x = sin(2 \cdot 3x)$:
$\sqrt{3} cos 3x = 2sin 3x cos 3x$
Перенесем все в левую часть:
$2sin 3x cos 3x - \sqrt{3} cos 3x = 0$
Вынесем общий множитель $cos 3x$ за скобки:
$cos 3x (2sin 3x - \sqrt{3}) = 0$
Получаем два уравнения:
1) $cos 3x = 0$
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
2) $2sin 3x - \sqrt{3} = 0$
$sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$3x = (-1)^n arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $sin^2(\pi + \frac{x}{2}) - \frac{1}{2}sin x = 0$.
Используем формулу приведения $sin(\pi + \alpha) = -sin\alpha$. Тогда $sin^2(\pi + \frac{x}{2}) = (-sin\frac{x}{2})^2 = sin^2\frac{x}{2}$.
Применим формулу синуса двойного угла для $sin x = sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}$.
Подставим в уравнение:
$sin^2\frac{x}{2} - \frac{1}{2}(2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}) = 0$
$sin^2\frac{x}{2} - sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2} = 0$
Вынесем $sin\frac{x}{2}$ за скобки:
$sin\frac{x}{2}(sin\frac{x}{2} - cos\frac{x}{2}) = 0$
Получаем два уравнения:
1) $sin\frac{x}{2} = 0$
$\frac{x}{2} = \pi k \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $sin\frac{x}{2} - cos\frac{x}{2} = 0$
$sin\frac{x}{2} = cos\frac{x}{2}$
Разделим обе части на $cos\frac{x}{2}$ (убедившись, что $cos\frac{x}{2} \neq 0$, так как если $cos\frac{x}{2}=0$, то и $sin\frac{x}{2}=0$, что невозможно):
$tan\frac{x}{2} = 1$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.