Номер 56.7, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.7, страница 220.

56.7 a) $2^{x^2+3} - 8^{x+1} = 0;$

б) $27^{5-x^2} - 3^{x^2-1} = 0.$

а) $2^{x^2+3} - 8^{x+1} = 0$

Для решения данного показательного уравнения сначала перенесем второе слагаемое в правую часть, изменив его знак:

$2^{x^2+3} = 8^{x+1}$

Теперь приведем обе части уравнения к одному основанию. Наименьшим общим основанием для чисел 2 и 8 является 2, так как $8 = 2^3$. Подставим это в уравнение:

$2^{x^2+3} = (2^3)^{x+1}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, раскроем скобки в показателе степени в правой части:

$2^{x^2+3} = 2^{3(x+1)}$

$2^{x^2+3} = 2^{3x+3}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 + 3 = 3x + 3$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 3x + 3 - 3 = 0$

$x^2 - 3x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$x_1 = 0$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

Ответ: $0; 3$.

б) $27^{5-x^2} - 3^{x^2-1} = 0$

Аналогично предыдущему пункту, перенесем второй член уравнения в правую часть:

$27^{5-x^2} = 3^{x^2-1}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Основанием будет 3, так как $27 = 3^3$.

$(3^3)^{5-x^2} = 3^{x^2-1}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для левой части уравнения:

$3^{3(5-x^2)} = 3^{x^2-1}$

$3^{15-3x^2} = 3^{x^2-1}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$15 - 3x^2 = x^2 - 1$

Решим полученное уравнение. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$15 + 1 = x^2 + 3x^2$

$16 = 4x^2$

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^2 = 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два решения:

$x_1 = \sqrt{4} = 2$

$x_2 = -\sqrt{4} = -2$

Ответ: $-2; 2$.