Номер 56.3, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§56. Общие методы решения уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 56.3, страница 220.

56.3 а) $0,5^{\sin x - \cos x} = 1;$

б) $(\sqrt{3})^{\sin^2 x - 1} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt[4]{729}.$

а) $0.5^{\sin x - \cos x} = 1$

Запишем число 0,5 в виде степени с основанием 2: $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

Представим правую часть уравнения, число 1, в виде степени с тем же основанием: $1 = 2^0$ или $1 = 0.5^0$.

Перепишем исходное уравнение:

$(2^{-1})^{\sin x - \cos x} = 2^0$

Или, что проще:

$0.5^{\sin x - \cos x} = 0.5^0$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\sin x - \cos x = 0$

Перенесем $\cos x$ в правую часть:

$\sin x = \cos x$

Заметим, что если $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$. Однако, $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = 1$

$\tan x = 1$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $(\sqrt{3})^{\sin^2 x - 1} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt[4]{729}$

Приведем все части уравнения к основанию 3.

Левая часть:

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, следовательно $(\sqrt{3})^{\sin^2 x - 1} = (3^{\frac{1}{2}})^{\sin^2 x - 1} = 3^{\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1)}$.

$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$.

Правая часть:

$729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.

$\sqrt[4]{729} = \sqrt[4]{3^6} = (3^6)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{6}{4}} = 3^{\frac{3}{2}}$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$3^{\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1)} \cdot 3^{\frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

$3^{\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1) + \frac{3}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1) + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей:

$\frac{1}{2}(\sin^2 x - 1) = 0$

Умножим обе части на 2:

$\sin^2 x - 1 = 0$

$\sin^2 x = 1$

Отсюда следует, что $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$.

Эти два случая можно объединить в одну серию решений. Уравнение $\sin x = \pm 1$ выполняется в точках, где косинус равен нулю.

$\cos x = 0$

Решением этого уравнения является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.