Номер 55.9, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.9, страница 219.

Решите уравнение:

55.9 a) $ \sqrt{7x - 6} = x; $

б) $ x + 3 = \sqrt{2x + 9}; $

в) $ \sqrt{6x - 11} = x - 1; $

г) $ -x - 5 = \sqrt{7x + 23}. $

а) Исходное уравнение: $\sqrt{7x - 6} = x$.
Для того, чтобы уравнение имело смысл, необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $7x - 6 \ge 0$, откуда $7x \ge 6$, то есть $x \ge \frac{6}{7}$.
2. Значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.
Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \ge \frac{6}{7}$.
Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{7x - 6})^2 = x^2$
$7x - 6 = x^2$
Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения:
$x^2 - 7x + 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 6$. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge \frac{6}{7}$):
- Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge \frac{6}{7}$.
- Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию $6 \ge \frac{6}{7}$.
Оба корня подходят.
Ответ: 1; 6.

б) Исходное уравнение: $x + 3 = \sqrt{2x + 9}$.
ОДЗ:
1. $2x + 9 \ge 0 \implies 2x \ge -9 \implies x \ge -4.5$.
2. $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Общая ОДЗ для уравнения: $x \ge -3$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(x + 3)^2 = (\sqrt{2x + 9})^2$
$x^2 + 6x + 9 = 2x + 9$
Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 + 6x - 2x + 9 - 9 = 0$
$x^2 + 4x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 4) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ или $x_2 = -4$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -3$):
- Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \ge -3$.
- Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 \ge -3$, следовательно, это посторонний корень.
Таким образом, уравнение имеет только один корень.
Ответ: 0.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{6x - 11} = x - 1$.
ОДЗ:
1. $6x - 11 \ge 0 \implies 6x \ge 11 \implies x \ge \frac{11}{6}$.
2. $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Поскольку $\frac{11}{6} > 1$, то общая ОДЗ: $x \ge \frac{11}{6}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{6x - 11})^2 = (x - 1)^2$
$6x - 11 = x^2 - 2x + 1$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 - 2x - 6x + 1 + 11 = 0$
$x^2 - 8x + 12 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 12. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{11}{6}$):
- Корень $x_1 = 2$. Так как $2 = \frac{12}{6}$, то $2 \ge \frac{11}{6}$. Условие выполняется.
- Корень $x_2 = 6$. Условие $6 \ge \frac{11}{6}$ также выполняется.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: 2; 6.

г) Исходное уравнение: $-x - 5 = \sqrt{7x + 23}$.
ОДЗ:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $7x + 23 \ge 0 \implies 7x \ge -23 \implies x \ge -\frac{23}{7}$.
2. Левая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна арифметическому корню: $-x - 5 \ge 0 \implies -x \ge 5 \implies x \le -5$.
Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x \ge -\frac{23}{7}$ (т.е. $x \ge -3\frac{2}{7}$) и $x \le -5$.
Эти два неравенства не имеют общих решений, так как не существует числа, которое одновременно больше $-3\frac{2}{7}$ и меньше или равно $-5$. Следовательно, ОДЗ является пустым множеством, и уравнение не имеет решений.
Для проверки можно попытаться решить уравнение, возведя обе части в квадрат:
$(-x - 5)^2 = (\sqrt{7x + 23})^2$
$(x + 5)^2 = 7x + 23$
$x^2 + 10x + 25 = 7x + 23$
$x^2 + 3x + 2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.
Как и ожидалось, ни один из этих корней не удовлетворяет условию $x \le -5$, поэтому оба являются посторонними.
Ответ: корней нет.