Номер 55.4, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.4, страница 218.

Равносильны ли уравнения:

55.4 a) $ \sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3} $ и $ 2x^2 + 2 = x^4 + 3; $

б) $ \sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1 $ и $ \sin^2 x = 0? $

а) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Рассмотрим первое уравнение: $\sqrt{2x^2 + 2} = \sqrt{x^4 + 3}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$2x^2 + 2 \ge 0$
$x^4 + 3 \ge 0$

Поскольку $x^2 \ge 0$ и $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $2x^2 + 2 \ge 2$ и $x^4 + 3 \ge 3$. Оба подкоренных выражения всегда строго положительны. Следовательно, ОДЗ для первого уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Это преобразование будет равносильным, то есть не приведет к потере или приобретению посторонних корней.
$(\sqrt{2x^2 + 2})^2 = (\sqrt{x^4 + 3})^2$
$2x^2 + 2 = x^4 + 3$

Мы получили в точности второе уравнение. Второе уравнение $2x^2 + 2 = x^4 + 3$ является целым рациональным уравнением, и его ОДЗ также все действительные числа.

Поскольку второе уравнение получено из первого с помощью равносильного преобразования (возведения в квадрат обеих неотрицательных частей), множества их решений совпадают.

Для полной уверенности можно найти корни. Перенесем все члены второго уравнения в одну сторону:
$x^4 - 2x^2 + 1 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$ (при этом $t \ge 0$):
$t^2 - 2t + 1 = 0$
$(t - 1)^2 = 0$
$t = 1$
Вернемся к исходной переменной:
$x^2 = 1$, откуда $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Множество решений для обоих уравнений — $\{-1, 1\}$. Следовательно, уравнения равносильны.

Ответ: да, уравнения равносильны.

б) Рассмотрим уравнения $\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1$ и $\sin^2 x = 0$.

Проанализируем первое уравнение. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным:
$\sin^2 x + 1 \ge 0$

Мы знаем, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \sin^2 x \le 1$. Следовательно, $1 \le \sin^2 x + 1 \le 2$. Выражение под корнем всегда строго положительно, поэтому ОДЗ первого уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Поскольку обе части уравнения $\sqrt[4]{\sin^2 x + 1} = 1$ неотрицательны, мы можем возвести их в четвертую степень. Это преобразование является равносильным.
$(\sqrt[4]{\sin^2 x + 1})^4 = 1^4$
$\sin^2 x + 1 = 1$
$\sin^2 x = 0$

В результате мы получили второе уравнение. Так как оно было получено из первого с помощью равносильного преобразования, множества решений этих уравнений совпадают.

Найдем решения уравнения $\sin^2 x = 0$:
$\sin x = 0$
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Множество решений для обоих уравнений — $\{x \mid x = \pi k, k \in \mathbb{Z}\}$. Таким образом, уравнения равносильны.

Ответ: да, уравнения равносильны.