Номер 55.2, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§55. Равносильность уравнений. Глава 10. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств. ч. 2 - номер 55.2, страница 218.

55.2 Равносильно ли уравнение $\sin x = 0$ уравнению:

а) $\cos x = 1$;

б) $\operatorname{tg} x = 0$;

в) $\cos 2x = 1$;

г) $\sqrt{x - 1} \cdot \sin x = 0$?

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений полностью совпадают. Сначала найдем множество решений исходного уравнения $ \sin x = 0 $.

Решением уравнения $ \sin x = 0 $ является серия корней $ x = \pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $). Множество решений: $ \{ \dots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \dots \} $.

Теперь проверим равносильность для каждого из предложенных уравнений.

а) $ \cos x = 1 $
Решением этого уравнения является серия корней $ x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Множество решений этого уравнения: $ \{ \dots, -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, \dots \} $.
Это множество не совпадает с множеством решений уравнения $ \sin x = 0 $. Например, корень $ x = \pi $ является решением уравнения $ \sin x = 0 $, но не является решением уравнения $ \cos x = 1 $, так как $ \cos \pi = -1 \neq 1 $. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.

б) $ \operatorname{tg} x = 0 $
Уравнение $ \operatorname{tg} x = 0 $ по определению равносильно системе $ \begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} $.
Решения уравнения $ \sin x = 0 $ — это $ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Проверим для этих решений условие $ \cos x \neq 0 $. Если $ x = \pi k $, то $ \cos(\pi k) = (-1)^k $. Так как $ (-1)^k $ может быть равно только $ 1 $ или $ -1 $, то $ \cos(\pi k) \neq 0 $ для любого целого $ k $.
Таким образом, множество решений уравнения $ \operatorname{tg} x = 0 $ есть $ x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $, что полностью совпадает с множеством решений исходного уравнения. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.

в) $ \cos 2x = 1 $
Используем формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $.
Подставив в уравнение, получим: $ 1 - 2\sin^2 x = 1 \implies -2\sin^2 x = 0 \implies \sin^2 x = 0 \implies \sin x = 0 $.
Так как уравнение $ \cos 2x = 1 $ с помощью равносильных преобразований приводится к уравнению $ \sin x = 0 $, их множества решений совпадают. Это также можно проверить, решив уравнение $ \cos 2x = 1 $ напрямую: $ 2x = 2\pi n \implies x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Это множество решений совпадает с множеством решений уравнения $ \sin x = 0 $. Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да.

г) $ \sqrt{x-1} \cdot \sin x = 0 $
Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием $ x-1 \ge 0 $, то есть $ x \ge 1 $.
На ОДЗ произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $ \sqrt{x-1} = 0 \implies x = 1 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
2) $ \sin x = 0 \implies x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Из этих корней нужно выбрать те, что удовлетворяют ОДЗ $ x \ge 1 $.
$ \pi k \ge 1 \implies k \ge \frac{1}{\pi} $. Так как $ \pi \approx 3.14 $ и $ k $ — целое, то $ k \ge 1 $ ($ k=1, 2, 3, \dots $).
Итак, множество решений данного уравнения состоит из $ x=1 $ и $ x=\pi k $ для всех целых $ k \ge 1 $.
Это множество $ \{1, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots\} $ не совпадает с множеством решений уравнения $ \sin x = 0 $. Например, $ x=0 $ является решением $ \sin x = 0 $, но не является решением уравнения $ \sqrt{x-1} \cdot \sin x = 0 $. Также $ x=1 $ является решением $ \sqrt{x-1} \cdot \sin x = 0 $, но не является решением $ \sin x = 0 $. Следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет.