Номер 54.22, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.22, страница 216.

54.22 Вероятность того, что стрелок поразит мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелок независимо производит 5 выстрелов.

а) Заполните таблицу распределения вероятностей $P_5(k)$ того, что из 5 выстрелов будет ровно $k$ попаданий:

Число попаданий, $k$

$P_5(k) = C_5^k \cdot 0,4^k \cdot 0,6^{5-k}$

б) Найдите вероятность того, что стрелок ни разу не промажет.

в) Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее двух раз.

г) Каково наиболее вероятное число попаданий в мишень?

Данная задача описывается схемой Бернулли, где проводится серия из $n=5$ независимых испытаний (выстрелов). Вероятность «успеха» (попадания) в каждом испытании постоянна и равна $p=0,4$. Вероятность «неудачи» (промаха) равна $q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6$. Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$. В нашем случае формула имеет вид: $P_5(k) = C_5^k \cdot (0,4)^k \cdot (0,6)^{5-k}$.

а) Заполните таблицу распределения вероятностей $P_5(k)$ того, что из 5 выстрелов будет ровно k попаданий:

Рассчитаем вероятности для каждого возможного значения $k$ от 0 до 5. Для этого нам понадобятся биномиальные коэффициенты $C_5^k$: $C_5^0 = 1$; $C_5^1 = 5$; $C_5^2 = 10$; $C_5^3 = 10$; $C_5^4 = 5$; $C_5^5 = 1$.

• При $k=0$: $P_5(0) = C_5^0 \cdot (0,4)^0 \cdot (0,6)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0,07776 = 0,07776$
• При $k=1$: $P_5(1) = C_5^1 \cdot (0,4)^1 \cdot (0,6)^4 = 5 \cdot 0,4 \cdot 0,1296 = 0,2592$
• При $k=2$: $P_5(2) = C_5^2 \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^3 = 10 \cdot 0,16 \cdot 0,216 = 0,3456$
• При $k=3$: $P_5(3) = C_5^3 \cdot (0,4)^3 \cdot (0,6)^2 = 10 \cdot 0,064 \cdot 0,36 = 0,2304$
• При $k=4$: $P_5(4) = C_5^4 \cdot (0,4)^4 \cdot (0,6)^1 = 5 \cdot 0,0256 \cdot 0,6 = 0,0768$
• При $k=5$: $P_5(5) = C_5^5 \cdot (0,4)^5 \cdot (0,6)^0 = 1 \cdot 0,01024 \cdot 1 = 0,01024$

Заполненная таблица распределения вероятностей:

Число попаданий, $k$	0	1	2	3	4	5
$P_5(k)$	0,07776	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,01024

Ответ: Таблица заполнена выше.

б) Найдите вероятность того, что стрелок ни разу не промажет.

Событие «стрелок ни разу не промажет» означает, что все 5 выстрелов были успешными, то есть число попаданий $k=5$. Вероятность этого события была рассчитана в пункте а). $P_5(5) = 0,01024$.

Ответ: 0,01024.

в) Найдите вероятность того, что стрелок поразит мишень не менее двух раз.

Событие «стрелок поразит мишень не менее двух раз» означает, что число попаданий $k$ будет 2, 3, 4 или 5. Вероятность этого события равна сумме вероятностей $P_5(2)$, $P_5(3)$, $P_5(4)$ и $P_5(5)$. $P(k \ge 2) = P_5(2) + P_5(3) + P_5(4) + P_5(5)$. Используя значения из таблицы: $P(k \ge 2) = 0,3456 + 0,2304 + 0,0768 + 0,01024 = 0,66304$. Эту же вероятность можно найти через противоположное событие (число попаданий меньше 2, то есть 0 или 1): $P(k \ge 2) = 1 - P(k < 2) = 1 - (P_5(0) + P_5(1)) = 1 - (0,07776 + 0,2592) = 1 - 0,33696 = 0,66304$.

Ответ: 0,66304.

г) Каково наиболее вероятное число попаданий в мишень?

Наиболее вероятное число попаданий — это значение $k$, для которого вероятность $P_5(k)$ максимальна. Сравнивая вероятности, вычисленные в пункте а), находим максимальное значение: $P_5(0)=0,07776$; $P_5(1)=0,2592$; $P_5(2)=0,3456$; $P_5(3)=0,2304$; $P_5(4)=0,0768$; $P_5(5)=0,01024$. Максимальная вероятность — $P_5(2) = 0,3456$. Следовательно, наиболее вероятное число попаданий равно 2.

Ответ: 2.