Номер 54.18, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.18, страница 215.

54.18 Вы находитесь в круглом зале с 10 дверями, из которых какие-то 4 заперты. Вы случайным образом выбираете две двери. Найдите вероятность того, что:

а) вы не сможете выйти из зала;

б) вы сможете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете;

в) вы сможете через одну дверь выйти, а через другую вернуться в зал;

г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.

Для решения задачи сначала определим общее число исходов. Всего в зале 10 дверей, из которых 4 заперты, а $10 - 4 = 6$ — не заперты. Мы случайным образом выбираем 2 двери. Общее число способов выбрать 2 двери из 10 равно числу сочетаний $C_{10}^2$. Это общее число всех равновозможных исходов.

$N_{общ} = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

а) вы не сможете выйти из зала;
Это произойдет, если обе выбранные двери окажутся запертыми. В зале 4 запертые двери. Число способов выбрать 2 запертые двери из 4 (число благоприятных исходов) равно: $N_а = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.
Вероятность этого события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(а) = \frac{N_а}{N_{общ}} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.
Ответ: $\frac{2}{15}$

б) вы сможете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете;
Это условие выполняется, если одна из выбранных дверей не заперта, а другая — заперта. Число способов выбрать 1 из 6 незапертых дверей и 1 из 4 запертых дверей равно произведению соответствующих сочетаний: $N_б = C_6^1 \cdot C_4^1 = 6 \cdot 4 = 24$.
Вероятность этого события равна: $P(б) = \frac{N_б}{N_{общ}} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$.
Ответ: $\frac{8}{15}$

в) вы сможете через одну дверь выйти, а через другую вернуться в зал;
Это возможно, если обе выбранные двери не заперты. В зале 6 незапертых дверей. Число способов выбрать 2 незапертые двери из 6 равно: $N_в = C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.
Вероятность этого события равна: $P(в) = \frac{N_в}{N_{общ}} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.
Это событие означает, что по крайней мере одна из выбранных дверей не заперта. Оно является противоположным (дополнительным) к событию из пункта а) "обе двери заперты". Вероятность можно найти, вычтя из единицы вероятность противоположного события: $P(г) = 1 - P(а) = 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$.
Альтернативно, это событие является объединением несовместных событий из пунктов б) ("ровно одна дверь не заперта") и в) ("обе двери не заперты"). Поэтому его вероятность равна сумме их вероятностей: $P(г) = P(б) + P(в) = \frac{8}{15} + \frac{1}{3} = \frac{8}{15} + \frac{5}{15} = \frac{13}{15}$.
Ответ: $\frac{13}{15}$