Номер 54.16, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.16, страница 215.

54.16 (Продолжение задачи 54.4.) Карточка лотереи «Спортлото» со-держит 49 чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно угадано:

а) хотя бы одно число;

б) не более одного числа;

в) не менее трёх чисел;

г) 4, 5 или 6 чисел?

Для решения этой задачи мы используем классическое определение вероятности и формулу для вычисления числа сочетаний. Условия задачи соответствуют лотерее «6 из 49», где из 49 чисел случайным образом выбираются 6 выигрышных.

Общее число возможных исходов тиража — это количество способов выбрать 6 чисел из 49. Оно равно числу сочетаний из 49 по 6:

$N = C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 13 \, 983 \, 816$.

На нашей карточке отмечено 6 чисел. Мы хотим найти вероятность угадать $k$ чисел из 6 выигрышных. Для этого нужно выбрать $k$ чисел из 6 выигрышных ($C_6^k$ способов) и $6-k$ чисел из оставшихся 43 невыигрышных ($C_{43}^{6-k}$ способов). Число благоприятных исходов для угадывания ровно $k$ чисел равно:

$m_k = C_6^k \cdot C_{43}^{6-k}$

Вероятность угадать ровно $k$ чисел: $P(k) = \frac{m_k}{N} = \frac{C_6^k \cdot C_{43}^{6-k}}{C_{49}^6}$.

---

a) хотя бы одно число

Вероятность угадать хотя бы одно число — это сумма вероятностей угадать 1, 2, 3, 4, 5 или 6 чисел. Проще найти вероятность противоположного события — не угадать ни одного числа ($k=0$), и вычесть её из 1.

Число способов не угадать ни одного числа (все 6 выбранных нами чисел оказались среди 43 невыигрышных):

$m_0 = C_6^0 \cdot C_{43}^{6} = 1 \cdot \frac{43!}{6!(43-6)!} = 6 \, 096 \, 454$.

Вероятность не угадать ни одного числа:

$P(0) = \frac{m_0}{N} = \frac{6 \, 096 \, 454}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.435965$.

Следовательно, вероятность угадать хотя бы одно число равна:

$P(\text{хотя бы 1}) = 1 - P(0) \approx 1 - 0.435965 = 0.564035$.

В процентах: $0.564035 \times 100\% \approx 56.40\%$.

Ответ: Вероятность угадать хотя бы одно число составляет примерно 56.40%.

---

б) не более одного числа

Это событие означает, что угадано либо 0 чисел, либо 1 число. Вероятность равна сумме вероятностей $P(0)$ и $P(1)$. Вероятность $P(0)$ мы уже знаем.

Найдем вероятность угадать ровно одно число ($k=1$):

$m_1 = C_6^1 \cdot C_{43}^{6-1} = 6 \cdot \frac{43!}{5!(43-5)!} = 6 \cdot 962 \, 598 = 5 \, 775 \, 588$.

$P(1) = \frac{m_1}{N} = \frac{5 \, 775 \, 588}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.413019$.

Теперь сложим вероятности:

$P(\text{не более 1}) = P(0) + P(1) \approx 0.435965 + 0.413019 = 0.848984$.

В процентах: $0.848984 \times 100\% \approx 84.90\%$.

Ответ: Вероятность угадать не более одного числа составляет примерно 84.90%.

---

в) не менее трёх чисел

Это событие означает, что угадано 3, 4, 5 или 6 чисел. Вероятность равна сумме $P(3) + P(4) + P(5) + P(6)$.

Рассчитаем каждую вероятность:

$m_3 = C_6^3 \cdot C_{43}^{3} = 20 \cdot 12 \, 341 = 246 \, 820 \implies P(3) = \frac{246 \, 820}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.017650$.

$m_4 = C_6^4 \cdot C_{43}^{2} = 15 \cdot 903 = 13 \, 545 \implies P(4) = \frac{13 \, 545}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.0009686$.

$m_5 = C_6^5 \cdot C_{43}^{1} = 6 \cdot 43 = 258 \implies P(5) = \frac{258}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.00001845$.

$m_6 = C_6^6 \cdot C_{43}^{0} = 1 \cdot 1 = 1 \implies P(6) = \frac{1}{13 \, 983 \, 816} \approx 0.00000007$.

Суммируем вероятности:

$P(\text{не менее 3}) \approx 0.017650 + 0.0009686 + 0.00001845 + 0.00000007 \approx 0.018637$.

В процентах: $0.018637 \times 100\% \approx 1.86\%$.

Ответ: Вероятность угадать не менее трёх чисел составляет примерно 1.86%.

---

г) 4, 5 или 6 чисел

Вероятность этого события равна сумме $P(4) + P(5) + P(6)$. Мы уже вычислили эти значения в предыдущем пункте.

$P(4, 5 \text{ или } 6) = P(4) + P(5) + P(6) \approx 0.0009686 + 0.00001845 + 0.00000007 \approx 0.000987$.

В процентах: $0.000987 \times 100\% \approx 0.099\%$.

Ответ: Вероятность угадать 4, 5 или 6 чисел составляет примерно 0.099%.