Номер 54.9, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.9, страница 214.

54.9 Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятности попадания в мишень по отдельности равны соответственно 0,8 и 0,6. Найти вероятность того, что мишень:

а) будет поражена дважды;

б) не будет поражена ни разу;

в) будет поражена хотя бы один раз;

г) будет поражена ровно один раз.

Для решения задачи введем обозначения событий:

Событие $A$ — первый стрелок попал в мишень. Вероятность этого события по условию $P(A) = 0,8$.

Событие $B$ — второй стрелок попал в мишень. Вероятность этого события по условию $P(B) = 0,6$.

Так как выстрелы независимы друг от друга, события $A$ и $B$ являются независимыми.

Найдем вероятности противоположных событий (промахов):

Событие $\bar{A}$ — первый стрелок промахнулся. Вероятность $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Событие $\bar{B}$ — второй стрелок промахнулся. Вероятность $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$.

а) будет поражена дважды

Это событие означает, что и первый, и второй стрелок попали в мишень. Это соответствует совместному наступлению независимых событий $A$ и $B$. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,8 \times 0,6 = 0,48$.

Ответ: 0,48

б) не будет поражена ни разу

Это событие означает, что оба стрелка промахнулись. Это соответствует совместному наступлению независимых событий $\bar{A}$ и $\bar{B}$.

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,2 \times 0,4 = 0,08$.

Ответ: 0,08

в) будет поражена хотя бы один раз

Событие "мишень поражена хотя бы один раз" является противоположным событию "мишень не поражена ни разу" (вероятность которого мы рассчитали в пункте б). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Поэтому искомая вероятность равна:

$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{ни одного попадания}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B})$

$1 - 0,08 = 0,92$.

Ответ: 0,92

г) будет поражена ровно один раз

Это событие означает, что либо первый стрелок попал, а второй промахнулся, либо первый промахнулся, а второй попал. Эти два исхода являются несовместными, поэтому их вероятности можно сложить.

Вероятность того, что первый попал, а второй промахнулся: $P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0,8 \times 0,4 = 0,32$.

Вероятность того, что первый промахнулся, а второй попал: $P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \times P(B) = 0,2 \times 0,6 = 0,12$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

$P(\text{ровно одно попадание}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = 0,32 + 0,12 = 0,44$.

Ответ: 0,44