Номер 54.7, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.7, страница 213.

54.7 Опишите произведение следующих событий A и B:

а) A - у случайным образом составленного квадратного уравнения есть корни; B - дискриминант уравнения отрицателен;

б) A - у случайным образом составленного квадратного уравнения нет корней; B - дискриминант уравнения неположителен;

в) A - случайным образом выбранная функция $y = f(x), x \in R$ возрастает; B - верно неравенство $f(99) < f(100)$;

г) A - случайным образом выбранная числовая последовательность является геометрической прогрессией; B - первые два её члена положительны, а следующие два - отрицательны.

а)

Событие A — «у случайно образом составленного квадратного уравнения есть корни». Это означает, что дискриминант уравнения $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Событие B — «дискриминант уравнения отрицателен». Это означает, что $D < 0$.

Произведением событий A и B является событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события A и B одновременно. Для этого необходимо, чтобы дискриминант $D$ одновременно удовлетворял двум условиям: $D \ge 0$ и $D < 0$.

Не существует такого числа, которое было бы одновременно и неотрицательным, и отрицательным. Следовательно, события A и B являются несовместными, и их произведение является невозможным событием.

Ответ: Произведение событий A и B является невозможным событием (событием, которое никогда не происходит).

б)

Событие A — «у случайно образом составленного квадратного уравнения нет корней». Это означает, что дискриминант уравнения $D$ строго отрицателен, то есть $D < 0$.

Событие B — «дискриминант уравнения неположителен». Это означает, что $D$ не является положительным, то есть $D \le 0$.

Произведение событий A и B происходит, когда выполняются оба условия одновременно: $D < 0$ и $D \le 0$.

Если выполняется условие $D < 0$ (событие A), то автоматически выполняется и условие $D \le 0$ (событие B). Таким образом, наступление события A влечет за собой наступление события B. Пересечением (произведением) этих событий будет самое "сильное" условие, то есть $D < 0$, что в точности соответствует событию A.

Ответ: Произведением событий A и B является событие A: «у случайно образом составленного квадратного уравнения нет корней».

в)

Событие A — «случайным образом выбранная функция $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$ возрастает». По определению, возрастающая функция удовлетворяет условию: для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Событие B — «верно неравенство $f(99) < f(100)$».

Произведение событий A и B — это событие, при котором функция $f(x)$ является возрастающей, и при этом для нее верно неравенство $f(99) < f(100)$.

Если наступает событие A (функция возрастает), то из определения возрастающей функции следует, что для $x_1 = 99$ и $x_2 = 100$, поскольку $99 < 100$, должно выполняться неравенство $f(99) < f(100)$. Это означает, что наступление события A автоматически влечет за собой наступление события B. Таким образом, событие A является частным случаем события B (или подмножеством). Когда одно событие влечет за собой другое, их произведение совпадает с первым (более частным) событием.

Ответ: Произведением событий A и B является событие A: «случайным образом выбранная функция $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$ возрастает».

г)

Событие A — «случайным образом выбранная числовая последовательность $\{b_n\}$ является геометрической прогрессией». Это означает, что существует такое число $q$ (знаменатель прогрессии), что для любого натурального $n$ выполняется равенство $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

Событие B — «первые два её члена положительны, а следующие два — отрицательны». Это означает, что $b_1 > 0$, $b_2 > 0$, $b_3 < 0$ и $b_4 < 0$.

Произведение событий A и B — это событие, при котором последовательность является геометрической прогрессией и при этом её члены удовлетворяют условиям из события B.

Рассмотрим следствия из одновременного выполнения этих условий.

• Из того, что $b_1 > 0$, $b_2 > 0$ и $b_2 = b_1 \cdot q$, следует, что знаменатель прогрессии $q = \frac{b_2}{b_1}$ должен быть положительным: $q > 0$.
• Из того, что $b_2 > 0$, $b_3 < 0$ и $b_3 = b_2 \cdot q$, следует, что знаменатель прогрессии $q = \frac{b_3}{b_2}$ должен быть отрицательным: $q < 0$.

Таким образом, для одновременного наступления событий A и B требуется, чтобы знаменатель прогрессии $q$ был одновременно и положительным, и отрицательным. Это невозможно.

Следовательно, события A и B несовместны, и их произведение является невозможным событием.

Ответ: Произведение событий A и B является невозможным событием (событием, которое никогда не происходит).