Номер 54.6, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§54. Случайные события и их вероятности. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 54.6, страница 213.

54.6 При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил. Какова вероятность того, что случайным образом выбранную из списка задачу:

а) решили оба ученика;

б) решил первый, но не решил второй ученик;

в) решил второй, но не решил первый ученик?

Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми.

Пусть $N$ - общее количество задач в списке, $N=50$.
Пусть $A$ - множество задач, решенных первым учеником. По условию, мощность этого множества $|A| = 44$.
Пусть $B$ - множество задач, решенных вторым учеником. Мощность этого множества $|B| = 26$.
Условие "каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил" означает, что объединение множеств $A$ и $B$ покрывает все задачи из списка. Следовательно, мощность объединения этих множеств равна общему числу задач: $|A \cup B| = 50$.

Для нахождения количества задач, которые решили оба ученика (мощность пересечения множеств $|A \cap B|$), воспользуемся формулой включений-исключений:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
Подставим известные значения:
$50 = 44 + 26 - |A \cap B|$
$50 = 70 - |A \cap B|$
$|A \cap B| = 70 - 50 = 20$
Таким образом, 20 задач были решены обоими учениками.

а) решили оба ученика;

Вероятность того, что случайно выбранная задача решена обоими учениками, равна отношению числа задач, решенных обоими, к общему числу задач.
$P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{N} = \frac{20}{50} = \frac{2}{5} = 0.4$
Ответ: $0.4$

б) решил первый, но не решил второй ученик;

Количество задач, которые решил только первый ученик (мощность разности множеств $|A \setminus B|$), можно найти, вычтя из общего числа решенных им задач те, что были решены совместно со вторым.
$|A \setminus B| = |A| - |A \cap B| = 44 - 20 = 24$
Вероятность этого события:
$P(A \setminus B) = \frac{|A \setminus B|}{N} = \frac{24}{50} = \frac{12}{25} = 0.48$
Ответ: $0.48$

в) решил второй, но не решил первый ученик?

Количество задач, которые решил только второй ученик (мощность разности множеств $|B \setminus A|$), вычисляется аналогично.
$|B \setminus A| = |B| - |A \cap B| = 26 - 20 = 6$
Вероятность этого события:
$P(B \setminus A) = \frac{|B \setminus A|}{N} = \frac{6}{50} = \frac{3}{25} = 0.12$
Ответ: $0.12$

Измените в условии общее количество учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми.

(Предполагается, что в условии допущена опечатка и имелось в виду "общее количество задач", так как изменение количества учеников при заданных условиях не имеет смысла).
Чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковыми, вероятности этих событий должны быть равны. Это означает, что и количества благоприятствующих исходов для этих событий должны быть равны:
$|A \cap B| = |A \setminus B|$
Мы знаем, что $|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$. Подставив в это равенство наше новое условие $|A \setminus B| = |A \cap B|$, получим:
$|A| = |A \cap B| + |A \cap B| = 2 \cdot |A \cap B|$
Так как по условию $|A| = 44$, то:
$44 = 2 \cdot |A \cap B|$, откуда следует, что $|A \cap B| = 22$.
Теперь найдем новое общее количество задач $N'$, при котором это условие выполняется. Используем ту же формулу включений-исключений, где $N'$ - это новое значение $|A \cup B|$:
$N' = |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
Подставим известные и найденные значения:
$N' = 44 + 26 - 22 = 48$
Таким образом, если бы в списке было 48 задач, то количество задач, решенных обоими учениками (22), было бы равно количеству задач, решенных только первым учеником (44 - 22 = 22), и вероятности в пунктах а) и б) были бы одинаковы.
Ответ: Общее количество задач должно быть 48.