Номер 53.6, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§53. Формула бинома Ньютона. Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. ч. 2 - номер 53.6, страница 212.

53.6 Чему равен наибольший коэффициент в разложении $(a + b)^n$, если сумма биномиальных коэффициентов разложения равна:

а) 1024;

б) 512?

Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом?

Сумма биномиальных коэффициентов в разложении $(a+b)^n$ вычисляется по формуле $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$. Используя эту формулу, мы можем найти показатель степени $n$. Наибольший коэффициент в разложении зависит от четности $n$.

• Если $n$ — четное число ($n=2m$), то в разложении есть один наибольший коэффициент, равный $C_{2m}^m$.
• Если $n$ — нечетное число ($n=2m+1$), то в разложении есть два одинаковых наибольших коэффициента, равные $C_{2m+1}^m$ и $C_{2m+1}^{m+1}$.

a) Сумма биномиальных коэффициентов равна 1024

1. Найдем показатель степени $n$.

По условию, $2^n = 1024$.

Так как $1024 = 2^{10}$, то $n = 10$.

2. Найдем наибольший коэффициент.

Поскольку $n=10$ — четное число, наибольший коэффициент один, и он равен $C_{10}^{10/2} = C_{10}^5$.

Вычислим его значение:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252$.

3. Найдем количество членов с наибольшим коэффициентом.

Для четного $n$ существует только один член с наибольшим коэффициентом.

Ответ: Наибольший коэффициент равен 252. В разложении один член с этим коэффициентом.

б) Сумма биномиальных коэффициентов равна 512

1. Найдем показатель степени $n$.

По условию, $2^n = 512$.

Так как $512 = 2^9$, то $n = 9$.

2. Найдем наибольший коэффициент.

Поскольку $n=9$ — нечетное число, существует два равных наибольших коэффициента: $C_9^{(9-1)/2} = C_9^4$ и $C_9^{(9+1)/2} = C_9^5$.

Вычислим значение $C_9^4$ (значение $C_9^5$ будет таким же):

$C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126$.

3. Найдем количество членов с наибольшим коэффициентом.

Для нечетного $n$ существует два члена с наибольшим коэффициентом ($C_9^4$ и $C_9^5$).

Ответ: Наибольший коэффициент равен 126. В разложении два члена с этим коэффициентом.